【原】高中数学 - 导数的概念及导数的运算

目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数

          2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程

          3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性

重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义

          2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程

难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义

          2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程

过程：1、引入导数概念

          3、给出导数定义

          （1）函数在某点导数的定义

          （2）函数在某区间导数的定义

          （3）单侧导数的定义

          4、求导数举例

          5、导数的几何意义

          6、求切线和法线方程举例

          7、可导与连续的关系

          8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性

          9、小结

          10、作业

 

一、       导数的概念

1、导数的引入

    设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数:

        s=f(t),

求动点在时刻t₀的速度.

    考虑比值

        ,  

这个比值可认为是动点在时间间隔t-t₀内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t₀的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t₀®0, 取比值的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即

        ,

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t₀的速度.

2、导数的定义

    从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

        .

令Dx=x-x₀, 则Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)= f(x)-f(x₀), x®x₀相当于Dx ®0, 于是

成为

        或.

导数的定义  设函数y=f(x)在点x₀及其近旁有定义, 当自变量x在x₀处取得增量Dx时, 相应地函数y取得增量

Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀)，

如果当Dx®0时，的极限存在, 则称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数, 记作, 即

        ,

也可记作

, 或.

    函数f(x)在点x₀处有导数（即极限存在），有时也说成f(x)在点x₀可导.如果极限不存在, 就说函数y=f(x)在点x₀处不可导.如果不可导的原因是由于Dx®0时,®也往往说函数y=f(x)在点x₀处的导数为无穷大.

    拓展：导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有

        ,

        .

在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

总结说明：

函数的变化率

	定义	实例
平均 变化率	函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 为=	①平均速度； ②曲线割线的斜率
瞬时 变化率	函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝	①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率

1．平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.

2．平均变化率也可以用式子表示，有什么几何意义？

答　Δx表示x₂－x₁是相对于x₁的一个“增量”；Δy表示f(x₂)－f(x₁).

观察图象可看出，=   表示曲线y＝f(x)上两点(x₁，f(x₁))、(x₂，f(x₂))连线的斜率.

3．

基础演练：

已知函数

(1)求当x₁＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；

(2)求当x₁＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率；

4．　利用导数的定义求函数f(x)＝－x²＋3x在x＝2处的导数.

5．求函数f(x)＝3x²－2x在x＝1处的导数.

6．已知函数f(x)＝2x²－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于                     

7．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.

    如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导, 就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导, 这时, 对于开区间（a，b）内的任一点x , 都对应着一个确定的导数. 这样就构成了一个以（a，b）为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数, 简称导数，记作,, , 或. 即

=或

    f ¢(x₀)与f ¢(x)之间的关系:

    函数f(x)在点x₀处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x₀处的函数值, 即

.

    导函数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x₀)是f(x)在x₀处的导数或导数f ¢(x)在x₀处的值.

    左右导数: 所列极限存在, 则定义

    f(x)在的左导数:=;

    f(x)在的右导数:=.

    左导数和右导数统称为单侧导数.   

导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x₀处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢_-(x₀)和右导数f ¢₊(x₀)都存在且相等.

    如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f ¢₊(a) 和左导数f ¢_-(b)都存在, 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导.

.

求导数举例

   例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数.

   解: .

即    (C ) ¢=0. 

    例2. 求的导数.

    解:  .

    例3. 求的导数.

    解:   

.

   例4．求函数f(x)=x ⁿ (n 为正整数)在x=a处的导数.

    解: f ¢(a)(x^n-1+ax ^n-2+ × × ×+a ^n-1)=na ^n-1.

把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx ^n-1, 即  (x ⁿ)¢=nx ^n-1.

    (C)¢=0, , , .

   更一般地, 有(x ^m)¢=mx ^m-1 , 其中m为常数.

   例5．求函数f(x)=sin x 的导数.

    解:  f ¢(x)

                       

                      .

即  (sin x)¢=cos x .

   用类似的方法, 可求得  (cos x )¢=-sin x .

   例6．求函数f(x)= a ^x(a>0, a ¹1) 的导数.

   解:  f ¢(x)

          

          .

   特别地有(e ^x)=e ^x .

    例7．求函数f(x)=log _ax (a>0, a ¹1) 的导数.

    解:

                         

            .

    解:

           .

即      . :

    特殊地  .

    , .

   例8．求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.

   解: ,

      , 

因为f ¢_-(0)¹ f ¢₊(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导.

总结与延伸：

1．常见函数的导数公式：

（1）(C为常数)；    （2）()；

（3）；       （4）；

（5）；        （6）；

（7）；   （8）．

2．导数的运算法则：

法则1  　．

法则2   , ．

法则3   ．

3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′_x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′_u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′_x( (x))=f′(u) ′(x)．

基础演练：

1：求函数的导数.                  

2．函数y=x²cosx的导数为                      。

   函数y=tanx的导数为                      。

3.求下列复合函数的导数：

⑴；                             ⑵；

⑶；   ⑷．

二、导数的几何意义

设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT, 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

    设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x₀, y₀)(y₀=f(x₀))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x,y), 于是割线MN的斜率为

        ,

其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x₀. 如果当x® ₀时, 上式的极限存在, 设为k , 即

       

存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x₀, f(x₀))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.

    函数y=f(x)在点x₀处的导数f ¢(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处的切线的斜率, 即

        f ¢(x ₀)=tan a ,

其中a是切线的倾角.

    如果y=f(x)在点x₀处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x₀为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处具有垂直于x轴的切线x=x₀. :

    由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x₀, y₀)处的切线方程为

        y-y₀=f ¢(x₀)(x-x₀).

    过切点M(x₀, y₀)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果

f ¢(x₀)¹0, 法线的斜率为, 从而法线方程为

         .

    例8. 求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.

   解: , 所求切线及法线的斜率分别为

           , .

    所求切线方程为, 即4x+y-4=0.

    所求法线方程为, 即2x-8y+15=0.   

函数的可导性与连续性的关系

定理1  如果函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续.

设函数y=f(x)在点x₀ 处可导, 即存在. 则

        .

这就是说, 函数y=f(x)在点x₀ 处是连续的.

    另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.

    例． 函数在区间(-¥, +¥)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大

       .

基础演练：

1．曲线y=x³的切线中斜率等于1的直线                         （    ）                                

   A．不存在                         B．存在，有且仅有一条

C．存在，有且恰有两条             D．存在，但条数不确定

2．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（    ）

A、( 1 , 0 )                         B、( 2 , 8 )

C、( 1 , 0 )和(－1, －4)              D、( 2 , 8 )和 (－1, －4)

3．已知曲线在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（     ）

   A    （1，3） B  （-4，33）   C  （-1，3）   D  不确定

4．物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,则在4s附近的平均变化率              .

5．曲线y＝x³－3x²＋1在点(1,－1)处的切线方程为__________________.

6．已知l是曲线y=x³+x的切线中，倾斜角最小的切线，则l的方程是       .

7已知过曲线y=x上点P的切线l的方程为12x-3y=16,那么P点坐标只能为    (    )

A.       B.         C.          D.

8．已知的图象经过点(0,1)，且在x=1处的切线方程是y=x－2.

求的解析式.

9.求过点（2，0）且与曲线y=相切的直线的方程.

例题精讲：

例1．求下列函数的导数

　　①y=(2x-3)⁵　　② 　　③ 　　④y=sin³2x

　　解析：① 设u=2x-3，则y=(2x-3)⁵分解为y=u⁵，u=2x-3

　　由复合函数的求导法则得：

 　y'=f'(u)u'(x)=(u⁵)'(2x-3)'=5u⁴·2=10u⁴＝10(2x-3)⁴

　　② 设u=3-x，则 可分解为 ，

　　 。

　　③

　　 　　　　

　　④ y'=3(sin2x)²·(sin2x)'=3sin²2xcos2x(2x)'=6·sin²2x·cos2x

　　例2．已知曲线 ，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点切线方程。

   解析： ，令 ，即 ，

 　得x=4，代入 ，得y=5，
　　∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为 ，即x-2y+6=0。

　　例3．已知曲线C：y=3x⁴-2x³-9x²+4。
　　① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
　　② 第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

　　解析：①把x=1代入C的方程，求得y=-4，∴ 切点为(1,-4)，y'=12x³-6x²-18x

　　∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12，∴ 切线方程为y=-12x+8。

　　②由

　　得3x⁴-2x³-9x²+12x-4=0，即(x-1)²(x+2)(3x-2)=0， 。

　　公共点为(1,-4)（切点）， ，除切点外，还有两个交点 。

　　评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

　　*例4．设 ，求f'(x)。

　　解析：当x>0时， ，当x<0时， ，

　　由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知

　　

   

　　由于f'₊(0)=f'_-(0)=1，故有f'(0)=1于是： ，

　　即： 。

三、应用练习：

1、已知作直线运动的物体，其位移s与时间t的

  函数关系是 s=3t-t2

（1）求此物体的初速度

（2）求物体在t=2时的瞬时速度

（3）求从t=0到t=2的平均速度

2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

    

 4、y=x³在点P(2,8)处的切线方程是(   )
    A、12x+y-16=0          B、12x-y-16=0      

     C、12x-y+16=0       D、12x+y+16=0

 5、某物体运动时，其路程S与时间t的函数关系为S=2(1-t)²,则它在t=1.2秒时的瞬时速度为＿＿＿＿＿。

 6、常函数y=c导数为零的几何意义是___________________。

  7、在曲线 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135º。

 四、能力训练

　　1．已知函数 ，且f'(1)=2，则a的值为______。

　　2．设f(x)=xlnx，则f'(2)=________。

　　3．给出下列命题：

　　① ；　②(tanx)'=sec²x

　　③函数y=|x-1|在x=1处可导；　④函数y=|x-1|在x=1处连续。

　　其中正确的命题有：_____。

　　4．函数y=cosx在点 处的切线方程为_______。

　　5．已知函数f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。

总结归纳：

平均变化率与导数：

	定义	实例
平均 变化率	函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 为=	①平均速度； ②曲线割线的斜率
瞬时 变化率	函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝	①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率

常见函数的导数：

（1）(C为常数)；    （2）()；

（3）；       （4）；

（5）；        （6）；

（7）；   （8）．

导数与切线：

 函数y=f(x)在点x₀处的导数f ¢(x₀)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处的切线的斜率, 即

        f ¢(x ₀)=tan a ,

其中a是切线的倾角.

    如果y=f(x)在点x₀处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x₀为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x₀, f(x₀))处具有垂直于x轴的切线x=x₀. :

    由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x₀, y₀)处的切线方程为

        y-y₀=f ¢(x₀)(x-x₀).

    过切点M(x₀, y₀)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果

f ¢(x₀)¹0, 法线的斜率为, 从而法线方程为

         .

课后作业：

1、若函数f（x）=2x²－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于         

2、设函数在处可导，则等于         

3、求下列函数的导数：

(1)y＝(2x－3)⁵；

(2)y＝；

(3)y＝ln(2x＋5)．

4、曲线y＝x³－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．

5、若函数f(x)＝ax⁴＋bx²＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.

6、如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是

y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)的值为________．

7、曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．

8、若曲线在x＝1处的切线与直线x＋by＋1＝0垂直，则实数b的值为________．

9、已知点P在曲线上为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是      

10、过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为      ．