【原】解三角形|一组对边角，能看懂的极致经典。

还记得前面写的一篇"再读高考|解三角形中的范围问题",主要就2020年和2019年的高考题,介绍了三角形中两种最常见的解三形问题.

①已知一组对边角   ②已知一组邻边角

因为后台有老师建议新增一些方法,便有了这次的推送.

其实真的,解题无止境,只要肯攀登.

第一问的解答，当然是异常简单了。

只是对于第二问的处理，其实有些孩子真的是没有一个固定的思维过程的。

今天在前面“再读高考”的基础上对这种“已知一组对边角”的问题，做进一步的思考和整理，以期达到展示一些常规思路，明确几种优化解法，并达到再见能够果断示范的作用。

1

几何思路——距离最小找投影

其实，这种方法应该是所有方法中最简洁最炫酷的一种了。

尤其，是能想到这种构造投影的老师，必定是在几何上的感觉尤为的突出吧。

感谢网友@何研提供的思路，并将这种问题的处理一般化。

2

几何思路——线段之和念椭圆

由两边之和联想到椭圆定义，再经圆的性质，将一般三角形转化为等腰三角形，也的确是出人意料，并让人惊喜的。

这里椭圆的过渡作用，真的是给人太多的惊艳！得有多丰富的解题经验，才能有此联想呢。

只能说,线段之和念椭圆,就作为一条解题经验吧.

感谢@合肥新一代教育的杨益坤老师，一位通过公众号偶然结识的,进取心极强的小老乡。

3

几何法——化折为直是常见

这种化折线为直线的思路，也是真的简洁。

这种姿势，估计有更多初中教学经验的老师，可能会更擅长的吧。

4

几何法——圆来辅助更直观

不仅化曲为直，而且根据正弦定理的特征，果断构造了外接圆。

这个圆，是不是飞来之笔，情理之中又在意料之外呢？

5

几何思路——等角相联作辅助

三角形的角平分线与中线,是三角形中最重要的两个特征了.

而邻补角结合正弦定理或余弦定理的使用,可以极大地优化计算过程.

所以,除了这种角平分线,也可以尝试下从中线的角度分析.

6

几何思路——中线向量齐上阵

在这个题中,邻补角的余弦定理作用虽然也很不错,但因为中线长需要用到向量的原因,导致解题的过程就复杂的多了.

但从解法的角度来看,也不失为一种比较好的切入方式.

7

代数思路——单侧最值不等式

余弦定理中的平方和，目标中的两数和，而且只是求单侧最值而已，数量关系上联想到基本不等式，当然是没有问题的。

只是，只能求单侧最值哦。

有最大无最小，有最小无最大的……

8

代数思路——万能K法判别式

这是我最喜欢的、很多人称之为“万能K法”的.

其实,这种方法的最大优势就是,只要是二次式的结构,基本都是可以的.

其本质,是"整体替换"哦 .

9

代数思路——均值代换也常见

均值代换其实是基于等差数列中的等差中项的感觉.

在解方程时,我是会经常使用它的.那种对称的感觉,可以很方便的让我们优化计算.

等差中项,不就是因为对称性,才让人为之着迷么!

10

代数思路——齐次水消元最奇妙

常数替换,是基本不等式中最常见的方法了.

这里的常数替换,就给人一种耳目一新的感觉.

当然,这里采用常数替换的思路,还是基于"多元要消元"的目的.

11

几何+三角——面积瞻前也顾后

用面积作过渡,主要是因为条件和结论都和它的一定的关系.其实本质还是基本不等式,只是提前构造了一个最大定值而已.

不过这种有形有数的处理方法,倒真的有点赏心悦目的感觉.

12

代数+三角——平方和定三角换

三角换元,是我最常用也最喜欢的手段.

三角换元的出处其实有三处:

①平方关系,②有界性,③万能公式.

所以,每每遇到平方和,平方差,甚至遇到变量有界的特征,都可以联想到三角换元的.

13

三角思路——三角范围多用角

其实,这种三角函数的角度,才是为更多学生所接受的.

只是三角变换的熟练程度,决定了他们能否顺利达成目标.

可是,是不是经常见到一些孩子,时常感叹三角公式太多太复杂了呢?

所以,关于三角的思路,我也给出了三种常规的形式,以便大家比较鉴别.

14

三角思路——同名加减用化积

和差化积与和差化积,其实还是建议同学都能熟记的.

毕竟,教材的习题都要求我们能对其进行证明.

而且真的,有时用用它,真的可以给我们带来很大方便.

就像是这个题,就是因为有了它,而极大地简化了三角变换的过程.

初见的孩子,是不是觉得真的还是很爽!

15

三角思路——两角和定见均值

这里的均值代换,其实相较于思路7的代换,优越性是不是更加明显.

其实三角变换,最大的特征便是对称了.因此,每当均值代换再遇上对称,一定能碰撞出不一般的火花.

因为这,才会让我在课堂上,一再的力荐.

16

三角+导数——走投无路找导数

导数与三角的联姻,是近几年导数题中最常见到的一种姿态.

现在是不是在考试中就经常能够见到它呢?

真的是时候,该认真研究它了.

我也期待自己,在有空的时候,能够推一篇高质量的"三角与导数".

END