高中生的大学代数数论——用圆模拟群的概念的抽象

阅读了本文，你对群的认知已经优于高斯。

——题记

(本文叙述了利用圆引导出群的基本概念，文章约1300字，阅读时间约需180秒)

(a)抽象的数学概念有万千表象

情侣俩久别重逢，男的高兴地将女朋友抱起来旋转。

文学家见此情景，感慨万千：“久旱逢甘雨。”

数学家见此情景，有些动容。不知为何，却不假思索就想起来圆的轨迹。他的所想可能有如视频(请点击视频的链接：向量在圆上的旋转(1)）所见。

数学家被这些图景迷住了，他天马行空地想象着这些画面。他好像想到了什么，他认为有数学语言能描述视频里的现象。

(b)模拟群的概念的抽象的过程

本文不妨顺着这个数学家的思考，来模拟数学家怎么抽象一个数学概念的过程，一窥他们的些许智慧。虽然提出如今所见的群的概念的历史比这远远复杂漫长得多，但在群的概念定义以公理形式真正明确下来的时候，或许本文模拟的过程在某种程度上能印证数学家们当时的创造性的想法。

数学家有数学家独特的语言，有别于文学家。他认为视频的画面有普遍的意义，他想努力找出一种数学结构，对此作精准的阐述。

在中学教科书里，人们已经在用坐标来描述圆。假设以原点为圆心，r = 1为圆的半径,那么圆可以用横坐标x与纵坐标y的方程式来表示为方程(2)

(2)单位圆的坐标方程

圆上的点为有序对(x, y)，由三角函数方程(3)

(3)三角函数

得到启发，由表达式可见这个圆能用三角函数方程(3)表示。

三角函数方程(3)蕴含着x,y与圆的半径r的数量对应(4)

(4)

三角函数(3)比较精确的表达为(5)

(5)单位圆方程

用已经知道的数学工具在笔记本记下了各种各样随意的想法。渐渐地，他概括出一些有意义的性质，一些数学对象的轮廓清晰了起来。

借助三角函数的公式(6)

(6)三角函数公式

令α=β, 他得到一种被他命名为矩阵的乘法规则，将三角函数公式转成矩阵乘法(7)。

(7)三角函数公式转成矩阵乘法

用以表达cos(α + α)。所谓矩阵为形如(8)

(8)

的数学符号，cosα, sinα是矩阵的元素。请注意矩阵里的各项元素是怎么对应的。以此类推，还得到(9)

(9)

将两个表达式的左边的矩阵拼成一个矩阵，如图左边的矩阵(10)， 右边的矩阵保持不变。

(10)

两个矩阵的乘积等于(11)

(11)

这种乘法的意义何在呢？相当于让代表圆的半径的向量在坐标系上逆时针旋转了α度的角，向量与x轴的夹角变成了2α(12)。

(12)圆的半径的向量逆时针旋转α度

继续用矩阵(13)

(13)

乘以图(11)右边的矩阵可得到(14)

(14)

继续继续，进一步得到(15)

(15)

很容易看出这些乘积的规律性。数学家想让这种规律性更显然，所以他令nα=2π。如此一来，向量能正好旋转到x轴上，即坐标点为(1, 0)，如图(16)。

(16)

在做运算的过程中，数学家还发现一个规律。

图(11)右边的矩阵为左边的矩阵的第一列，数学家想看看在右边的矩阵的最右边再添加一列，看看两个完全相同的矩阵的乘积是什么(17)(18)(19)。

(17)

(18)

(19)

原来相同矩阵相乘与向量的旋转有相似性。数学家心想：“这一定意味着什么！”

数学家打算深究这些乘积意味着什么。他继续演算，但好像没有什么特别多的进展。他暂时放下这个问题，去写论文了。有一天，他从有理数的性质获得了启发，重新回到这个问题的研究上来。

经过不懈的努力，研究有了重大的突破。以此为契机，他建立了群的抽象概念。

（本文的续篇将重点叙述数学家如何建立了群的抽象概念）