已知△ABC中,∠ACB=90°(如图),点P到∠ACB两边的距离相等,且PA=PB.(1)先用尺规作出符合要求的点P(保留作图痕迹,不需要写作法),然后判断△ABP的形状,并说明理由;(2)设PA=m,PC=n,试用m、n的代数式表示△ABC的周长和面积;(3)设CP与AB交于点D,试探索当边AC、BC的长度变化时,CD/AC+CD/BC的值是否发生变化,若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由.(1)先根据角平分线及线段垂直平分线的作法作出P点,过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB,垂足为E、F,由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF,再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形;(2)在Rt△PAB中,由∠APB=90°,PA=PB,PA=m,可得出AB=√2m,由Rt△APE≌Rt△BPF,△PCE≌△PCF,可得AE=BF,CE=CF,故CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE,在Rt△PCE中,∠PEC=90°,∠PCE=45°,PC=n,可知CE=PE=√2n/2,即CA+CB=2CE=√2n,由△ABC的周长为=AB+BC+CA即可得出其周长,再根据S△ABC=S△PAC+S△PBC﹣S△PAB即可得出其面积;(3)过点D分别作DM⊥AC、DN⊥BC,垂足为M、N,由角平分线的定义及锐角三角函数的定义可知DM=DN=CDsin45°=√2CD/2,由平行线分线段成比例定理可知DN/AC=DB/AB,DM/BC=AD/AB,再把两式相加即可得出结论.本题考查的是相似形综合题,涉及到角平分线及线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式,涉及面较广,难度较大.
|