第8单元数学广角——找次品第1课时找次品【教学内容】教科书第111页例1、第112页例2的内容。【教学目标】1.通过观察、猜测、实验、推
理等活动，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。2.尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的
应用意识和解决实际问题的能力。【教学重点】理解用天平找次品的方法。【教学难点】尝试用数学方法解决实际生活中的简单实际问题。【教学准
备】天平、3瓶钙片（其中一瓶少3片）。【教学过程】一、弄清问题题意，激发探究愿望（演示课件并提出问题）今天这节课我们就从某公司招聘
员工的一道题目开始。假定你就是应聘者，想不想接受一下智慧的挑战？问题是：假定你有81个玻璃球，其中有1个球比其他球稍轻，如果只能利
用没有砝码的天平来断定哪一个球轻，请问你最少要称几次才能保证找到较轻的那个球？1.初步尝试：给每位同学1分钟独立思考的时间。2.汇
报交流。学生汇报可能的次数是：1次、4次、6次、40次……教师：请只用1次的同学说一说，你是怎样想的。学生1：在天平的两边各放40
个玻璃球，如果天平右边下沉，就说明最轻的球在左边；但如果天平平衡的话，就说明多出来的那一个就是最轻的。（学生边说，教师边把他的思路
记录下来）学生2（质疑）：我不同意他的想法。他说如果一边往下沉的话，就说明轻的球就在另一边。可这道题问的是称几次能保证找到那个轻的
球，如果按他说的称1次只能说明那个轻球在那一堆球里，并不能确定是哪一个。教师（小结）：看来，1次虽少，但只是有可能，不能保证找到较
轻的那个球。所以我们在思考这个问题时，不光要最少，还要以“保证能找到”为前提。3.揭示课题。教师：如果以“保证能找到”为前提，在同
学们这么多答案中，哪一个次数是最少的呢？这节课我们就一起来研究这个问题。这个问题在数学中叫“找次品”问题。(教师板书课题。)二、简
化问题，经历问题解决基本过程教师：对于从81个小球中找到次品的问题，比较复杂，那么怎样开始我们的研究呢？学生：可以从最少的试一试。
(学生如果没有想法，可以提示：能不能从小一些的数目着手研究，因为数目小比较好操作，便于发现一些方法。)1.2个。教师：如果从最简单
的入手研究，2个小球至少称几次？学生：1次，把两个小球分别放在天平两边上，哪边轻就是哪个。2.3个。教师：如果是3个呢？学生猜测：
2次？1次？（学生意见不统一。过一会儿有些学生又非常坚定地说“1次”。）教师：老师这里有3瓶钙片，其中有一瓶少了3片。你觉得应该怎
样称？学生：先把其中的2瓶放在天平的两侧，如果左边下沉，就说明右边的是次品；如果右边下沉，就说明左边的是次品；如果天平平衡，则没称
的是次品。（学生边说，教师边配合进行称量演示。）教师带领学生进一步感受推理过程：虽然有3瓶，而天平只有两个托盘，但是只需要把其中的
2瓶放入天平的两侧，可能平衡，也可能不平衡，如果平衡……如果不平衡……不论是否平衡，利用推理，只要称1次肯定能将那个次品找出来。教
师板书：教师小结：看来2个和3个虽然数量不同，但是都只称1次就可以将次品找到。三、再次探究“关键数目”，初步感知、归纳规律1.探究
8个小球的情况。（1）小组讨论，归纳分组规律。教师：如果小球数是8个，需要称几次呢？学生猜测：4次？3次？教师：似乎不太容易很快得
出结论，那么请同学们以小组为单位，共同讨论一下。合作建议：可以借用棋子帮助思考，也可以像老师这样在纸上画一画。不论用什么样的方式，
都要将思考过程简要记录下来。学生分小组研究。（2）汇报交流。教师：8个小球时你们各称了几次？学生1（小组1）：先将8个球放在天平的
两侧，每边各4个，如果左边轻的话，将这4个再分成2组，每边2个，再找出较轻的那一组，将其再放到天平的两侧，每边放1个，至少需要称3
次。学生2（小组2）：我们用了2次。天平两边先各放3个，剩下2个。最好的情况，天平平衡了，将剩下的两个再称，这样用2次；如果不平衡
，就将轻的那一边的3个再称，挑出其中的2个放到天平上，另一个放一边，如果平衡，天平外的就是次品，如果不平衡，轻的小球就是次品。所以
只需2次。（两个同学到黑板前，一生写，一生解释，合作默契。）教师：有的小组称了2次，是把8分成了几组？每组分别是几个？有的小组称了
3次，是把8分成了几组？每组分别是几个？（板书：8：（3,3,2）2次；（4,4）3次。）教师：其他小组还有不同的方法吗？（如果有
，请小组代表汇报。）教师：经过大家的讨论，看来最少的次数是2次。如果有9个小球呢？2.探究9个小球的情况。教师：9个比8个多了1个
，怎样称用的次数是最少呢?小组讨论一下吧！小组3汇报如下：小组4汇报如下：［教师板书：9：（4,4,1）3次；（3,3,3）2次。
］3.对比总结。教师：大家回过头来比较一下，我们将8个小球分成（3,3,2）三组称2次，可是把8个分成（4,4）两组却称了3次，多
称了1次。多称的1次多在哪儿呢？学生1：小球数是2个和3个只用1次，把8个分成（3,3,2）每组是3个或2个，3个或2个都只需要称
1次就能找出次品。教师：你们明白他的意思吗？你们看，称（3,3）或（4，4），都只称一次就能确定次品在哪边。可接下来，第一种是要在
3个里找，只需1次；第二种要在4个里找，要用2次，所以会多1次。教师：那9分成（4,4,1）也比分成（3,3,3）多用1次，多的1
次在哪儿呢？（生答略）教师：大家最后称的次数不同，原因是什么呢？学生2：分组的组数不同，每组的数量也不同。教师：那到底怎么分，才能
既保证找到次品，又能使称的次数尽可能少呢？小组讨论一下！学生3：我觉得应该分3组。因为天平有2个托盘，在天平两边各放1份，剩下的就
是第3份。如果天平平衡，那么次品肯定在旁边的一份里；如果天平不平衡，那么次品肯定在轻的那份中。学生4：我还认为他分的这3组，每一组
的数目还要少，否则就会影响整体的次数。学生5：也就是尽可能让每组的数目比较接近，这样每次称完，次品就被确定在更小的范围内了，称的次
数也就少了。教师小结：你们太了不起了！通过我们刚才的实验、讨论、交流，不仅解决了问题，而且发现了其中分组的秘密和规律。(教师板书：
分3组，每组数量尽量接近。)四、运用策略，解决更复杂的问题，进一步发现“规律”1.研究10个小球。教师：那么我们就应用分组的规律，
再来一次实验。如果小球个数是10个，那么该分几组？怎么分？称几次？学生1：应该分三组，分成两个3个和一个4，称3次。［教师板书：1
0：（3,3,4）3次］教师：如果是27个呢？学生2：先分成三组，每组有9个。然后再按照前面9个小球的方法找就可以了！教师：这位同
学说得太好了！他还是先分成3组，然后用转化的思想把问题变成我们前面解决的9个小球的找次品问题了。2.分组研究更大数目。教师：看来大
家都掌握了分组规律，最开始的招聘问题81个小球大家能解决吗？接下来，我们以小组为单位进行竞赛，哪个小组有了结果，哪个小组就把结果直
接写到黑板上。你能发现它和前面我们解决的27个、9个、3个有什么关系吗？（小组研究之后，汇报结果）学生1：我们组发现3、9、27它
们之间依次有3倍关系。3×3=9，9×3=27，下一个是81……学生2：被测小球数目是几个3相乘就是称几次。比如，4个3相乘是81
,81个小球只需称4次。教师：你们很了不起，既解决了公司“招聘”问题，81个小球时，保证找到次品至少需要称4次，又发现了“被测物品
数目与称的最少次数之间”神秘的规律。教师：随着招聘问题的解决，今天的课也即将结束。回顾我们整节课的经历，从最初的招聘问题，回归到解
决2、3的问题，再到研究8、9发现分组规律，直至研究了更大的像27、81这样的数，发现了被测物品数目与称的最少次数之间的一些关系。
在这一路的探究过程中，我们不断思考、不断实践、不断发现，是不是有点“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉！我想大家在收获知识的同
时，一定收获了更多的智慧。最后有两句话与大家共勉（多媒体呈现）。探究问题：学会化繁为简（转化）。解决问题：要有优化意识（统筹）。【
教学反思】教科书虽然给我们提供了基本的教学思路：先研究在3个零件中找次品，再研究8个和9个中找次品的方法，然后延伸到10个、11个
零件，但是教学过程如何展开？从几个零件开始研究？研究不同个数的零件时，各自的教学意图是什么？要不要总结发现蕴含的规律？怎么总结？是
否要求运用发现的规律解决零件个数更多的问题？这么多内容如何在40分钟内得到落实？是否所有的学生都能理解？可以说，本课的教学有很大的
难度和挑战性。本节课内容完整，环节设置流畅，在以下几个方面值得我们借鉴：（1）精心选取数据，明确选择每一数据的意图，使学生初步感知
保证最快找到次品的原理，还要初步感知“物品总数与最少次数之间的关系（规律）；”（2）用符号记录问题解决的过程，将思维过程外显化，便于学生、教师之间的沟通交流，使不同层次的学生以这种符号语言为依托，为研究更为复杂的找次品问题提供了有效的交流保证；（3）体验“从简单问题入手”是问题解决的重要策略，让学生先陷入“一筹莫展”的境地，充分体验到直接解决这个问题几乎不可能，直观感受到这个问题太复杂，如此学生才有将复杂问题转化为简单问题的需求。名师面对面名师面对面 |
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