构造大法 | 构造“手拉手”解决线段（和）问题之线性篇与弧形篇

如图，在RtΔBEF中BE=1,EF=2,正方形ABCD的边BA、BC分别在BE、BF上，点D在EF上，点P是线段DE上一动点，连接AP,将AP绕A点逆时针旋转90°至AP'，连接DP'，则DP'的最小值是

解法（一）：连接BP，AP=AP'，AB=AD,

可得△APB≌△AP'D(SAS)，

所以DP'=BP。

当BP=BG时能够取得最小值。

解法(二):过A作AE'⊥AE，且AE'=AE。

可得△AE'P'≌△AEP(SAS)，

所以∠AE'P'=∠E=60°，

可得出P'的运动轨迹。

此种类型的问题把它归结为“瓜豆原理”问题，也就是从动点P'的轨迹和点P的轨迹是类似的。

模型：如图，∠MPN为定角，PM:PN为定值，点M在直线上运动，可知点N也在某条直线上运动。

而解决此类问题我喜欢把它叫作“照猫画虎”，就是照着原来的动三角形在画出一个和它相似的三角形，如果把原来的动三角形比作猫，那么画出的三角形就是虎，猫虎相似，根据手拉手模型，就可以得到另外一组相似三角形。

于是为了解决这种问题，我们可以分四步走：1.找出猫；2.定猫眼（定点）；3.画出虎；4.手拉手模型。

小试身手:

1.如图,在等边ΔABC中,AB=3,AD⊥BC，点E是线段AD上一点，连接CE，将CE绕C点逆时针旋转60°至CF，连接DF，则DF的最小值是?

分析：点E在运动过程中，①△CEF的形状不变---猫；②C点在此过程中为定点（猫眼）；③画出虎△ABC；④手拉手：△ACE≌△BCF。

解法一：所以F点的轨迹就可以确定了。

注意：画虎时，虎的位置不唯一，利用好已知条件就是最好的。

解法二：取AC的中点G，可得CG=CD，△CDF≌△CGE，DF=EG。

相似类型

解析：①找猫---△APQ形状不变；②猫眼---A点定；③画出虎---在AB右侧作△RtABE,使得∠ABE=90°，∠E=30°；④运用手拉手模型.

将军饮马模型：“条件不够，平行四边形来凑”系列之----将军饮马模型

也可以这样：过构造Rt△ADE

还可以这样，不做辅助线，利用Rt△AOB。

OA:AB=AP:AQ=OP:BQ=1:2，

AQ+BQ=2(AP+OP)

二、“手拉手”解决线段（和）之弧形篇

对于瓜豆原理这样理解：①多动点；②运动过程中，某三角形形状不变；③从动点的轨迹与主动点一样。

对于构造“手拉手”模型，这样理解：照猫画虎法。分为四步：①找到猫；②定猫眼；③画出虎；④找相似（全等）三角形。

问题：

瓜豆原理：①F、G、H为动点；②△CFG形状不变（所求问题与G有关）；③F点的轨迹是圆，所以判断G点的轨迹也是圆。

照猫画虎法：①猫--△CFG；②定--C点；③画虎--△ABC；④△BCF∽△ACG

瓜豆原理：①A、D为动点；②△ACD形状不变（所求问题与D有关）； ③A点的轨迹是圆，所以判断D点的轨迹也是圆。

照猫画虎法：①猫--△ACD；②定--C点；③画虎--以BC为边作等边△BCE；④△ABC≌△DEC。

变式思考：其他条件不变，求△ABD面积的最大值。

解法类似！

在这个问题中A、B、C、D四个点都可以动，解题时要根据问题的需求确定定点与动点，合理利用动静转换（相对运动思想）解决问题。

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