中考数学压轴题分析：矩形存在性问题

矩形的存在性问题每年出现的概率相对较少。本文内容选自2020年鸡西中考数学压轴题。难度中等，涉及折叠与矩形的存在性问题，值得学习。

【中考真题】

（2020·鸡西）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．
（1）求点，的坐标；
（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；
（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）求坐标，先解方程可得到，。已知三角函数值，作垂线构建直角三角形得线段长即可。
题（2）因为点Q的位置固定，易得四边形是矩形。遇到翻折问题常常设未知数，利用勾股定理建立等量关系求解。
题（3）表面上是矩形的存在性问题，实际上是直角三角形的存在性问题。可以先以O′Q为边构造直角三角形。那么这个问题就转化为了“两线一圆”型的直角三角形存在性问题。

发现坐标轴中有4个点符合要求。利用直角三角形的相关性质进行求解即可。

【答案】解：（1）解方程：，

，
得，，
，
，，
如图1，过点作于点，

，，
，
，
，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）如图2，，，，

四边形为矩形．
，
由翻折，得，
，
，
；
（3）存在．
分四种情况：
①如图3，在轴的正半轴上，四边形是矩形，过轴于，过作轴于，

四边形，
设，则，，
在的解析式为：，
则，解得：，
是矩形，

由②知：，是矩形，过轴于，

，
，即，
，
，
<span role="presentation" data-formula="\because O" (2,4)'="" data-formula-type="inline-equation">，，
，
综上，点的坐标为：或，或或．

【总结】

矩形的存在性问题，直接转化为直角三角形的存在性问题即可。