数学建模——层次分析法

数学建模：建模 编程 写作

层次分析法

应用：评价类问题

举例：哪种方案最好、谁的表现更优秀。。。

分析问题：

（1）评价的目标是什么

（2）有几种方案可以达成目标（方案1、方案2、方案3、、、、）

（3）评价的准则or指标是什么

分析系统中各因素的关系，建立系统的递接层次结构

目标层

准则层

方案层

（建模论文中要画层次结构图，可以用SmartArt生成）

怎么查找评价准则or指标？

（1）从知网等数据库搜索相关文献，借鉴别人的研究方法

（2）没有文献，小组成员头脑风暴

（3）互联网搜索别人或者专家的看法

得到指标1、指标2、指标3、指标4、指标5、、、（不能太多，会影响判断矩阵的一致性）

确定好指标后，要分析权重

两个两个指标相互比较，最终根据两两比较的结果来推算权重

（一次性考虑很多个指标，会考虑不周）

构造判断矩阵

	指标1	指标2	指标3	指标4	指标5
指标1
指标2
指标3
指标4
指标5

下面是指标之间比较的量化值（重要值或者满意度）

因素i比因素j	量化值
同等重要	1
稍微重要	3
较强重要	5
强烈重要	7
极端重要	9
两相邻判断的中间值	2，4，6，8

表1

根据表1，得到判断矩阵,记为A，对应元素a_ij（除了对角元素，其他乱填的，数据要根据查到的资料，事实进行填写）

	指标1	指标2	指标3	指标4	指标5
指标1	1	1/2	4	3	3
指标2	2	1	7	5	5
指标3	1/4	1/7	1	1/2	1/3
指标4	1/3	1/5	2	1	1
指标5	1/3	1/5	3	1	1

矩阵A特点：

（1）a_ij的含义：与指标 j 相比，指标 i 的重要程度

（2）i =j，指标相同（对角线元素），同等重要，记为1

（3）正互反矩阵：a_ij >0，且a_ij x a_ji =1

        一致性矩阵：正互反矩阵满足a_ij x a_jk   =a_{ik     （各行（各列）成倍数关系）}

     　　矩阵A为一致矩阵的充要条件：(A为n阶方阵)

　　　　（i）a_ij >0

　　　　  (ii)a₁₁=a₂₂ =........=a_nn

　　　　  (iii)[a_i1,a_i2,a_i3,.......a_in] = k_i [a₁₁,a₁₂,a₁₃,.......a_1n]

          可知r(A)=1, A的特征值为 tr（A），0，0，0...........0           （n-1个0）

    　　  特征值为  n，0，0，0.....0

　　　　特征值=n，对应特征向量为  k [1/a₁₁,1/a₁₂,.......,1/a_1n]^T

n阶正互反矩阵，一致时，特征值max = n

　　　　　　　 不一致，特征值max > n

判断矩阵越不一致，最大特征值与n差别越大

得到判断矩阵后，分析权重：

判断矩阵必须先进行一致性检验：（不一致现象：出现矛盾之处。例如，方案1中，指标1比2重要，指标1和3一样重要，但是指标2比3重要）

检验通过，权重才能用

检验步骤：

（1）计算一致性指标CI

（2）查找平均随机一致性指标RI

矩阵阶数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49

（3）计算一致性比例CR

如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，可以接受，否则就要对判断矩阵进行修正。

往一致矩阵上调整，一致矩阵各行成倍数关系

一致矩阵计算权重

方法1：算数平均法求权重

（1）将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）

（2）将归一化的各列相加（按行求和）

（3）将相加后得到的向量中每个元素除以n

方法2：几何平均法求权重

（1）将A的元素按照行相乘，得到一个列向量

（2）将新的向量的每个分量开n次方

（3）对该向量进行归一化

方法3：特征值法求权重

（1）求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量

（2）对求出的特征向量进行归一化

最后，将三种方法的权重值取平均值（用excel处理更方便）

计算各层元素对系统目标的权重，进行排序 

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