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为了弥补对“概率统计”缺憾，今日再写一题。 数列恐怕难以再重现昔日的辉煌，因为概率统计正如日中天。 重庆南开中学大概注意到了这种变化，打破传统，竟然在同一套试卷中连出两个概率统计的压轴题（第8题和第22题）。 我也不敢懈怠，必须紧跟潮流。 概率统计恼人的并非是其思维和计算，而是那长篇累牍的叙述。有些题达到了500字，有的甚至逼近800字。面对这样一篇并不优美的说明文，在高压状态下，可想而知。 1 围观 一叶障目，抑或胸有成竹 你看到了，概率统计的题总是又臭又长，任谁都没有多少耐心的。可是要描述清楚整个过程，冗长的叙述不可或缺，所以你只能提升阅读能力。 仔细阅读，题意相当明确。阳性与阴性，单检与混检，经历了“新冠”多少都有了解。单检，需要n次；混检分为两类，阴性检验1次，阳性检验n+1次。每份样本相互独立，发生的概率相同。这便是题干的所有信息。 新高考对信息的提取，数据的收集与整理，数学建模与分析等素养的考查在本题中都得到了充分体现。 第（1）问考查分布列与数学期望，这是离散型随机变量的标配。 第（2）问考查利用期望决策，实际上已经不单是概率统计的问题，而是导数与函数零点的问题。说白了，概率统计压轴，不是与数列结合，就是与导数结合。 2 套路 手足无措，抑或从容不迫 严格地说，本题难度不大，只是这种考法相对生疏，难免望而生畏。 构造函数（亦可将常数3.5移项再构造），求导并判断单调性，利用零点存在定理确定零点所在位置，由此可得到n的最大值。 事实上n不但有最大值，而且有最小值，所以本题可改为求n的取值范围。当然，本题要提升难度也容易，不外乎加个参数即可。 3 脑洞 浮光掠影，抑或醍醐灌顶 对此，我不感兴趣，我感兴趣的是《失空斩》——京剧的传统剧目。 最近迷上了这个。 所谓失空斩，即《失街亭》、《空城计》和《斩马谡》的合称，故事取材于《三国演义》。马谡言过其实，诸葛亮谨小慎微，司马懿老奸巨猾，三出戏承前启后，荡气回肠。 最精彩的当属《空城计》。 马谡失街亭后，司马懿率十五万大军兵临城下。孔明引五千军士，一半已去搬运粮草，众官失色。孔明传令大开城门，登楼凭栏而坐，焚香操琴。司马懿疑其有诈，急速退去。 那么问题来了，诸葛亮有埋伏和空城两种可能，司马懿有进攻和撤退两种方案，当如何决策呢？ 假设司马懿认为城中有伏兵的概率为0.9，空城的概率为0.1。若城中有伏兵，进攻则会损兵折将，收益为-10；若是空城，进攻则大获全胜，收益为10；若撤退，虽毫发无损，但声名扫地，收益为-5。 司马懿罢兵成就了诸葛亮《空城计》的美名，皆因“亮平生谨慎，不曾弄险”所至。这便是数学中的小概率事件问题，事件虽小，但却意义重大（将来讨论）。 有人说《空城计》的故事不具真实性，以司马懿之智，即便不进攻，也会困死诸葛亮，断然不会望风而逃，错失良机。 不过历史上同类事件反复发生，当如何解释呢？（请设计数学模型） 4 操作 形同陌路，抑或一见如故 |
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