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一、久期 1.久期 对上述公式求1阶导，并处以当前的债券净价PV0: （1+r）MOD是麦考利久期，是以现值为权重计算的期限的加权平均值，作为久期的度量肯定没问题，但是它的数学意义比较模糊。MOD是修正久期，是类似数学弹性的概念，即收益率变动X%，会大约引发净值变动的百分比。 2.久期的性质 （1）久期的线性可加性 麦考利久期按照净值权重是绝对线性可加的；如果忽略1/（1+r）项的差异，修正久期也是按照贴现值权重线性可加的。 （2）久期与收益率的关系： 收益率均位于久期公式的分子，所以收益率上升，久期会减小。这可以从两方面去理解：1）收益率上升，远端现金流的现值遭受了更大的下跌，所以远端现金流贴现值权重下降，整个久期变小；2）可以从凸性去理解，凸性是-MOD的求导（公式见下文），为正数，所以利率增加MOD减小。 二、凸性&泰勒展开 1.凸性 凸性(C)描述的是收益率变化X%,引起的修正久期MOD的变化： 2.泰勒展开 根据泰勒展开： 所以对于债券来讲，净价变动的二阶导逼近可以写为： 从上式看出，久期使得价格相较收益率变化逆向变动，而凸性对应的是收益变化的平方项，所以收益率变化对应的凸性影响对价格都是正面的：即，由于凸性的存在，相比单纯久期估算，收益率下行带来的价格上涨更多；收益率上行带来的价格下跌要更少。 3.凸性的性质 （1）凸性的线性可加性： 凸性按照净值权重也约被认为是线性可加的。 （2）久期对凸性的影响：久期越长凸性越大 大体的结论是：对于一般的债券而言，久期越长凸性越大；对于超长久期、且现金流不要集中在尾部偿还的债券，久期越长可能凸性会减少（可能需要是50年左右期限了）。 简单推导： 对于单现金流凸性公式C： 考察期限n的变化，如何影响二阶导： 经推导，上述公式的正负最终由下述公式的正负决定： 2-r(n-1) 所以，若r(n-1)<2,那么久期都是随着n的增加而增加的。对于一般情况而言，r都是5%附近的数，即便是n=40，r(n-1)<2都基本成立。这种情况还是较少发生的，所以我们一般理解为久期越长凸性越大即可。
凸性给予了债券非常好的性质，它使债券易涨难跌。长债拥有更大的凸性，所以这就要求其在收益率上给出让步，即给予更低的收益率，这是债券收益率曲线走平的重要原因，理论上称为convexity bias。 关于收益曲线结构的另外两大经典理论：1）纯预期理论，讲得是未来长久期债之所以收益高，是因为预期未来收益率曲线会上移，长债持有收益集中在后半段；2）纯风险溢价理论，讲的未来收益率曲线不变，长债的收益率偏高体现为风险溢价，反映为我们熟知的骑乘收益。实际上，现实的收益率曲线结构被上述三大因素共同决定，未来的收益率曲线很难保持不变（风险溢价理论所宣称的），所以现实情况是上述理论的折中。 （3）票面利率对凸性的影响：票面利率越大，凸性越大 凸性公式中票面利率反应的现金流全部在分子，与凸性正相关。 （4）收益率变动对凸性的影响:收益率越大，凸性越小 凸性公式中，收益率在分母反应，与凸性负相关。 （5）负凸性（MBS）及凸性对冲（convexity hedging） 一般情况下，债券的凸性是正的（对-MOD求导），也就是说收益率上行久期会缩短，这种边际变化是凸性防御性的关键性表现：即在收益率上行过程中，久期会不断缩短，如果你只用一阶导去逼近，是越亏越少的。 但对于住房抵押贷款这类资产，凸性是负的，即利率上行的时候久期反而会变大，投资者越亏越多：因为MBS的底层资产对应的是住房贷款，人们可以在利率下行的时候选择提前还款并重新贷款，这样会缩短整个MBS的久期；当利率上行的时候人们会选择尽可能晚还款，拉长MBS的久期。 三、数值计算——直观感受久期、凸性效应 1.对债券YTM&净价关系形态的考察 我们来直观感受不同期限国债的形态,可得期限越长的债券弯曲程度越高,这也反映了其凸性越大的特点（根据真实现金流计算，见图一）。直观感受上来讲，其实1-10年国债凸性影响都不显著（直线相对较直）。 图一:关键期限国债YTM&净价关系图 2.久期&凸性的运用——基点价值的估算 1）久期：久期的概念基本能理解，比如久期是8的债，那么收益上行10bps，其久期带来的影响就是净价下降比例80bps；2）凸性：凸性的价值相对难理解，比如30年国债，目前凸性是417，其对净价的影响估计需要依赖，影响约为（凸性/2*dr*dr）,即对于400左右凸性的债来讲，收益率变动10bps，它对债券净价的贡献是增加比例2bps。 凸性是二阶导的性质，而收益率变化是一个很小的范围（价格波动以万一，即bps计算），所以很多时候一阶导逼近就足够了，凸性对冲效果并不显显著。 表一：10bsp变动下久期&凸性泰勒拟合效果演算 |
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