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《数学之美》作者吴军博士重磅力作 得到App创始人罗振宇、润米咨询创始人刘润、外交学院教授施展联袂推荐 书名：吴军数学通识讲义 著者：吴军 书号：ISBN 978-7-5133-4430-2 出版社：新星出版社 策划编辑：郗泽潇 营销编辑：龙立恒 出版时间：2021年4月 定价：99.00元 (当当满百减50) 装帧：精装 开本：16 字数：370千 页数：530页 内容简介如何一眼识破庞氏骗局、做好理财、投资？ 如何在购房贷款时做出最优选择？ 如何增加简历通过初筛的几率？ 如何规划公司的发展曲线？ 更重要的是， 如何提升自己的认知水平？ 如何改变自己的思维方式？…… 如果你也关注这些问题，希望借助数学思维来更好地提升自己、认知世界，这本书希望你一定要看。 这是一本写给所有人的数学通识讲义，书中通过关键知识点串联起整个数学体系，帮助你逐步建立起属于自己的数学知识结构。而贯穿全书的数学发展史，其实就是人类认知的发展史，你可以借此逐步训练自己的认知：从直观到抽象，从静态到动态，从宏观到微观，从随意到确定再到随机。 帮助你更好地梳理以往的数学知识，站在更高的地方更全面地看待数学以及人类知识体系；对于非理工专业的读者，则能更好地训练自己的数学思维，让你直击本质、化繁为简，做出正确的决策。 编辑推荐
作者介绍：吴 军博士，知名自然语言处理和搜索专家，硅谷风险投资人。他的著作《数学之美》荣获国家图书馆第八届文津图书奖、第五届中华优秀出版物奖，《文明之光》被评为2014年“中国好书”，《浪潮之巅》荣获“蓝狮子2011年十大极佳商业图书”奖。 吴军博士曾经担任谷歌研究员，设计了谷歌中、日、韩文搜索算法以及谷歌的自然语言分析器。2010—2012年担任腾讯负责搜索和搜索广告等业务的副总裁，后回到谷歌负责计算机自动问答项目。 吴军博士自2008年开始从事风险投资，并于2014年作为创始合伙人创立了硅谷丰元资本风险投资基金。他也是上海交通大学客座研究员和约翰·霍普金斯大学工学院董事。 书目录参下一篇 前言：作为通识教育的数学应该是什么样的如果要问人类的理性精神最具持久力和影响力的知识体系是什么，答案是数学；如果有外星高等文明想和人类进行交流，最方便的语言是什么，答案也是数学。 数学一方面在人类的文明史上享有巨大的声望和荣誉，给我们的文明带来了发展的动力和手段，另一方面却也让很多人感到自卑，并因此被人们厌恶。后一种结果当然不是数学本身的问题，甚至也不能怪那些学不好数学的人，主要是因为我们的教法有问题。我们没有把学生当作未来的自由人来教，更没有考虑到每个人的接受能力之间存在巨大的差异。 1. 为什么要学数学通识2017 年，原央视主持人、今天颇有成就的媒体人请我和王渝生先生（原中国科技馆馆长，科学史专家）做一期有关数学的节目。在节目开始前，主持人问我，她高考时数学不及格，是否是学渣啊？我说，你能有今天这样的成就，显然不可能是学渣。数学没学好，不是你的问题，恐怕是教学的方法和考量学生的方法不对。然后我就告诉她美国顶级的高中和大学是怎样教数学的。 美国最好的高中，会把数学由一门课变为8～10门内容不同的课程，每门课常常还要开设A、B、C三个难度不同的班。比如几何学会被分为平面几何A、B和C，立体几何B和C，三角学B和C，解析几何A、B和C，以及微积分先修课B和C等各种课程和班级。入门的那几门数学课足够浅显。比如平面几何的A班，讲清楚几何学的原理和用途，以及推理的方式就好了，根本不会让学生去做那些比较难的证明题。 在几何中，像点、线、面、三角形、四边形和多边形这些概念，以及平行、垂直等关系，其实对任何人都不难，任何学生只要别太偷懒，把这些搞懂了总是做得到的，这样他在平面几何A班就能得到好成绩。说到这里，我问那位主持人，这些内容，这样的教法，你总能考 90 分吧？她很有信心地说，那当然呢！但是她又有点担心地问我，如果是这样的话，谁还会去上难的数学课呢？我说在美国申请大学的时候，如果别人成绩单上有6门数学课，而且都是高难度的，而你只上了两门数学课，还是难度最低的，大学录取时你自然会在数学上吃点亏。但是，由于你少学了数学，将时间用于了个人更喜欢的文学和历史，在这些方面多学了很多课程，在申请那些更适合自己的大学时，一定比学了一堆数学的人有优势。更重要的是，虽然你上的数学课不算多，也不难，但好歹掌握了一些内容，相应的思维方式学会了，如果将来真想再学点，还是可以继续学的。否则学了一大堆理解不了的、考试考不过的内容，不仅浪费时间，而且本来能学会的简单内容也学不好。很多人因为做不出那些数学难题，从心里已经放弃了数学，以至于很多简单的数学知识也全忘光了。 把自己能够学懂的数学学好，对每一个人都有巨大的好处。对于理工科或者商科的学生来讲，他们的感受可能会比较明显，因为数学是自然科学以及许多学科的基础。但是，对于学习人文和社会学科、甚至学习艺术的人来讲，学懂数学也同样有好处，因为它可以帮助我们培养起比较独特的思维方式，看问题会比较深入，并且能够把各种知识体系关联起来。 读到这里，细心的读者可能注意到了，我刚才用了“能够学懂的数学”这个词，而不是泛泛地在谈数学。这也意味着，对于数学通识教育来说，讲什么内容很重要。如果把人类的知识体系用学科来划分的话，数学可能是最庞大的一个，因此要想用一本书完整地介绍数学，几乎是不可能的事情。所幸，作为通识教育，读者其实不需要了解数学的每一个分支，更不需要掌握那些分支中最难的内容，甚至都不需要听说那些分支名称，因为数学的各个分支，从体系的构建到研究方法、再到应用方法，都是共通的。因此，我在选取本书内容时，完全是围绕着帮助大家理解数学的底层逻辑和方法这样一个明确的目标进行的。 对于已经走出校门若干年的成年人来讲，再回过头来接受数学通识教育的目的是什么？其实只要能够把自己对数学的理解从初等数学上升到高等数学，就足够了。当然，很多人会讲，我在大学里已经学了高等数学，怎么能说我的理解还在初等数学水平上呢？学过高等数学的知识，和思维方式上升到高等数学的层次是两回事。不信的话，你不妨问问自己，大学毕业后可曾用过一次微积分？如果一次都没有用过，是否有其他的收获？据我的了解，在学过微积分的人中，99% 以上的人都没有觉得自己受益于这门课。那么大家是否想过，为什么大学一定要学习微积分呢？ 其实在大学教授微积分是很有道理的，它能够帮助一个年轻人把自己对世界、对变化、对规律的理解，从静态的、孤立的和具体的层面，上升到动态的、连续的和规律性的层面。大家会在后文我介绍导数、微分和积分这些概念时看到这一点。学完微积分后的十年，哪怕一道题都不会做了，也没有关系，这种看待世界、处理问题的方法一旦形成、并变为习惯，你就比同龄人不知道要高出几个层次了。做到这一点，才算是进入到高等数学的认知水平。对于即将进入高中的学生来讲，更早地从这个角度、带着这个目的学习数学，效果不知道要比背定理再刷题好多少。 如果我们把提升认知水平和掌握思维方法作为学习数学的目的，其实根本不需要面面俱到学习非常多的内容，重要的是通过一些线索将各种有用的知识点贯穿起来，理解数学的方法，并利用好那些方法。为了达到这个目的，我精心挑选了这本书的内容，并且按照便于提升认知的方式，将它们组织了起来。 2. 书里有什么内容在基础篇中，我们要讲述数学是什么，它和自然科学有什么不同，人类在数学方面的认知是如何发展的。当然，这样空洞的讲解没有意思，我们需要一个线索，一些实例，将相关的知识点和方法串联起来，这个线索就是毕达哥拉斯。从毕达哥拉斯出发，我们会串起下面诸多的知识点。首先自然是他得以出名的毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。我在书中会详细分析为什么东方文明更早地发现了勾股数的现象，却没有提出这个定理。这件事可以帮助我们理解什么是定理，以及怎样发现定理的问题。 毕达哥拉斯另一个了不起的成就是算出了黄金分割的值。从黄金分割出发，毕达哥拉斯发现了数学和美学的关系，并且开始用数学指导音乐。我们今天使用的八度音阶，就始于毕达哥拉斯的数学研究。从黄金分割出发，我们就可以得到人们熟知的斐波那契数列，从这个数列入手，我们就能了解数列以及级数的特点。毕达哥拉斯可以讲是数学史上的第一人，他开创了纯粹理性的数学。但是毕达哥拉斯也有他的局限性——否认无理数的存在，这是他最被后人诟病的地方。说起来，无理数的发现恰恰是毕达哥拉斯定理的一个直接推论，但是据说他对此假装视而不见，而且还把提出这个问题的学生害死了。对此，今天很多人说他无知、顽固、拒绝接受真理等。其实这只是站在普通人的角度理解毕达哥拉斯的行为。如果我们了解这样一个事实，即在当时人们所知的有限的数学领域中，毕达哥拉斯是这个体系的教主，他需要这个建立在逻辑之上的体系具有一致性和完备性，而逻辑上的一致性也是数学最基础的原则。因此，当他发现无理数的出现会破坏他所理解的数学体系的一致性和完备性、动摇数学大厦时，他就采取了教主们才会采用的激进行为。毕达哥拉斯的错误在于，他不懂得要维系数学这个体系的完整性需要定义新的概念，比如无理数，而不是否认它们的存在。无理数的出现是数学史上的第一次危机，危机解决之后，数学反而得到了更大的发展，并没有像毕达哥拉斯想的那样崩溃。 从上述这些内容中你会看到，通过毕达哥拉斯，我们把数学中那么多看似孤立的知识点串联了起来。通过这一篇，大家就能体会数学是什么样的体系；东方文明所发现的数学知识点和完整数学中的定理有什么区别；一个定理被发现后，会有什么样的自然的推论出现，然后又如何与其他知识体系联系起来，并且有什么实际应用。 在数字篇中，我们的线索是数学中最基本的概念——数。你会看到这个概念是如何起源、发展并且被不断地拓宽的。通过人类对数字这个概念的认识历程，你能体会到人类在思维工具上的进步——从具体到抽象、再到完全的想象。一个人对数这个概念理解程度的高低，反映出他在数学上认知水平的高低。照理讲，我们的认知水平应该随着所学内容难度的提升而提升，但是通常不是如此。在大学学习有关数字的概念时，很多人对数字的理解方式还停留在小学阶段。比如，对于无穷大和无穷小这样的概念，很多人依然以为它们只是巨大的数字和极小的数字。事实上它们和我们日常遇到的具体数字不同，它们代表的是变化的趋势和变化的快慢。因此，从小学到了大学，大家对数字的理解就应该从静态发展到动态，但是实际情况并非如此。 如果一个人用小学的思维方式学习大学数学的内容，一定会觉得非常难，这是很多人后来数学学不好的原因。但这并不能怪学的人，因为很多的数学课程，都是把学生当作未来的工匠来教的，教给学生们的都是一些能够让他们更好地干活的知识。因此，当学生一旦发现某些知识和将来干的活没有关系，就直接放弃了，或者混个说得过去的成绩就可以了，而不会去想它和我认知水平的提高有什么关系。反过来，如果我们放弃掉教授学生具体技能这个目的，而是让他们通过认识数字从自然数到负数、从整数到有理数、从有理数到实数、从实数到复数，最后从有限的数到无限的数这一个发展的历程，理解数学作为工具的作用，了解人类的认识从具体到抽象、从有限到无限的过程，就更容易掌握数学方法的精髓了。 随后两篇的内容集中在我们熟知的几何学和代数学上。它们不仅是数学的两大支柱，更重要的是，它们的发展历程反映出了数学体系化建立的过程。 在几何篇中，我们将重点放在几何的公理化体系上，这是几何学最大的特点，也让几何学成了逻辑上最严密的数学分支。通过几何学的产生和公理化过程，你可以看到数学是如何从经验发展起来，逐渐构建成逻辑严密的知识体系的。人类在搭建几何学大厦时，先是有了一些直观认识，然后从一些例子中总结出一个被称为引理的简单规律，引理的扩展可能会导致定理的出现。定理会有自然的推论，最后无论是定理还是推论，都会有实际的应用，即便有些应用上百年后人们才找到。这既是数学发展的过程，也是我们组织本书内容的思路。在以后的篇章中你也会看到，微积分、概率论是如何从经验变成公理化体系的。需要指出的是，数学的很多应用并非都是直接的应用，它对其他知识体系具有借鉴意义，因此我们会讲到数学公理化的体系对法学的影响。 在代数篇中，我们会重点介绍函数、向量和矩阵。函数这个概念的发明，让人类的认知从个体上升到整体，从点对点的单线联系上升到规律性的联系。理解了这一点，我们就从小学思维上升到中学思维了。从小学到大学，对于数字的理解，需要从单纯理解数字的大小，发展到理解它的方向性，这就是向量的概念。有了向量，代数就从中学的初等代数，进入到了大学的高等代数。很多向量放到一起，就形成了矩阵。在今天矩阵有很多的用途。作为数学通识课，我们是以提高认知为优先、介绍知识点为辅助，之所以挑选函数、向量和矩阵这三个概念来介绍，就是出于这样的目的。 接下来是微积分篇。微积分是高等数学中最重要的分支，也是初等数学和高等数学的分界点，因此很多人见到微积分三个字会知难而退。但是，我们在数字篇中会把微积分中最难的内容提前讲述，因此到学习这一篇时，大家可能会觉得简单很多。对于微积分，我们重点还是要说明它和初等数学的工具有什么不同，进而再教给大家两个思考工具：一个是从静态积累到动态变化，另一个是从动态变化到静态积累。比如我们工资的上涨和财富增加的关系，就是属于后者。微积分的发明者牛顿和莱布尼茨的伟大之处在于，他们将数学的关注点从对静态关系的研究转变成了对动态规律、特别是瞬时规律的把握。理解这一点，并且主动应用到工作中，是我们学习微积分的目的。至于那些很难的概念，解题的技巧，其实远没有大家想象的重要。 再往后，我们就要从确定性的世界进入不确定性的世界，这就是概率和数理统计篇的内容了。从初等数学到微积分，人类对规律的把握越来越确定、越来越精细，这是近代之前数学发展的脉络。但是到了近代，很多现实问题很难有完全确定的答案。于是，为了研究不确定性世界的规律性，概率论和统计学发展起来了。概率论和统计学在今天充满不确定性的世界里非常重要，也是所谓的大数据思维的科学基础。 到此为止，理工科大学生所需要具备的数学基础就介绍完了。纵观数学发展的历程，以及人类的数学思维不断拓展的历程，我们可以看到这样的趋势：从个案到整体规律，从个别定理到完整的知识体系，从具体到抽象，从完全的确定性到把握不确定性，这既是人类认知升级的过程，也应该是从小到大接受知识、提高认识的过程。 讲述完数学纵向发展的历程，我们还要将数学放回到人类整个知识体系中来看待，这就是我们在最后一篇终篇中所要讲述的内容，即数学在人类知识体系中的位置。很多时候，数学不能直接解决我们的实际问题，但是它能够给我们提供一个思路。对数学理解到这个程度，才能算是完整的。 3. 学完这本书能有什么收获读完这本数学的通识讲义之后，希望大家能在这三个方面有所收获： （1）增强判断力，遇到问题知道如何判断。学数学的一个重要目的，是提高自己的逻辑推理能力和合乎逻辑的想象能力。有了这两种能力，我们就能够从事实出发，得到正确的结论，这就是判断力。 （2）增强解决问题的能力，对于一个未知问题，知道如何一步步抽丝剥茧地解决它。再难的几何题其实最终都可以拆成那五个最基本的公理。在工作中，再复杂的问题，也能够分解为若干个简单的能够解决的问题。掌握了这个能力，就达成了通识教育的目的。 （3）增强使用工具的能力，遇到新的问题，知道用什么工具来解决，或者找谁来帮忙。在书中我会向大家展示，很多人们原本以为是无解的数学难题，在有了新的数学工具之后，很快便迎刃而解，这便是工具的力量。善用工具，是我们人之所以为人的立足根本。 接下来，就让我们从数学的基础和特点讲起。  |
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