线上已经开学第三周,初一的几何也行将结束,而外角的引入,则让很多同学不适应,笔者取了这个标题“永远不肯用”,是因为很多同学头脑里对三角形内角和为180°充满执念,不愿接受新知识,所以,我开设了这一讲,力图帮你有所突破! 三角形的一边与它邻边延长线所组成的角,叫做三角形的外角 如图,把△ABC的边AB延长,得到∠CBD,称为△ABC的一个外角. “外角”是三角形的外角, 我们称某个角是某个三角形的外角, 而不称三角形某个角的外角. 三角形外角定理 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图,在△ABC中,∠CBD=∠A+∠C. 要找外角,我们可以形象的把基本图形生活化,整个外角模型就像一面小旗,外角就是旗杆和旗面下边缘的夹角. 如图,说出图中所有的外角,并指出其是哪个三角形的外角. 要确定某个角是某个三角形的外角,要先确定这个角的邻补角在哪个三角形中,它就是这个三角形的外角.比如∠1的邻补角是∠2,∠2在△CBE中,则∠1是△CBE的外角.再比如∠3的邻补角有2个,但均不在三角形中,所以不能作外角.而∠4的邻补角有2个,且均在三角形中,则∠4是两个三角形的外角. ∠1是△CBE的外角,∠2是△ABF的外角, ∠4和∠6是△ABF,△DEF的外角, ∠7是△DFE的外角,∠8是△CDA的外角. 如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系. 这个模型的结论是∠A+∠B=∠C+∠D,很多同学利用两个三角形的内角和为180°,减去相等的两个对顶角,得出结论,稍显繁琐,我们不妨用外角来证. 在△AOB中,∠BOC=∠A+∠B, 在△COD中,∠BOC=∠C+∠D, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. 这个模型的结论是∠BED=∠B+∠D,之前我们过点E作平行线证明,但仔细观察这个结论,很像一个外角等于两个不相邻的内角和的形式.因此我们可以尝试把∠BED转化为外角,添加另一种辅助线. 如图,延长DE交AB于F, 在△BEF中,∠BED=∠B+∠1, ∵AB∥CD,∴∠1=∠D, ∴∠BED=∠B+∠D. 这个模型的结论是∠B=∠BED+∠D,形式也类似于外角定理,因此,我们同样也可以将∠B转化为外角,这时自然可以发现,同位角和内错角均可实现. 设BE,CD交于点F, ∵AB∥CD, ∴∠1=∠B, 在△EFD中,∠1=∠BED+∠D, ∴∠B=∠BED+∠D. 如图,试探究∠A,∠B,∠C,∠BDC之间的数量关系. 法1: 如图,延长BD交AC于点E, 在△ABE中,∠1=∠A+∠B, 在△DEC中,∠BDC=∠1+∠C, ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C. 法2: 如图,连接AD并延长至点E, 在△ABD中,∠3=∠1+∠B, 在△ADC中,∠4=∠2+∠C, ∴∠BDC=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C =∠BAC+∠B+∠C. 例: (4)翻折模型,折∠A,探究∠A,∠1,∠2的数量关系 如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗? 本题的结论是∠1+∠2=2∠A,利用多边形内角和也能证明,简单过程如下,∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)-(∠A'DE+∠A'ED)=360°-(180°-∠A)-(180°-∠A')=2∠A.但是我们也可以利用外角,翻折的常用辅助线作法是作对应点的连线,我们不妨连接AA'. 连接AA' 由题意得,A'D=AD,∠3=∠4, A'E=AE,∠5=∠6, 在△ADA'中,∠1=∠3+∠4=2∠4, 在△AEA'中,∠2=∠5+∠6=2∠6, ∴∠1+∠2=2∠4+2∠6=2∠BAC. 这样的题,粗看无法下手,这就需要利用外角,或从中抽离出基本模型,通过结论求解.下面给出2种解法. 法1: 如图,设AC交BE于M,AD交BE于N 在△MEC中,∠1=∠C+∠E, 在△BND中,∠2=∠B+∠D, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°. 法2: 如图,设BD,CE交于点F, 易知∠A+∠C+∠D=∠CFD, 在△BEF中,∠1=∠B+∠E, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠CFD=180°. 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数. 本题中,∠D,∠C,∠B在一个四边形中,∠E,∠F在一个四边形中,∠A,∠G在一个三角形中,位置很分散,这就需要将其尽可能靠拢,显然,∠A,∠G的和可以等于一个外角,想到设AB,GF的交点是H,接下来,就可以用多种方法了. 法1: 如图,设AB,GF交于点H 在△AGH中,∠A+∠G=∠1, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1, ∵∠B+∠C+∠D+∠2=360°, ∠3+∠E+∠F+∠1=360°, ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠1 =720°-(∠2+∠3)=540°. 法2: 连接BF,∴∠A+∠G=∠1+∠2, ∴∠A+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH+∠G =∠1+∠2+∠CBA+∠C+∠D+∠E+∠EFH =∠CBF+∠BFE+∠FED+∠D+∠C=540°. 如图,AD是△ABC的角平分线,E是BC延长线上一点,∠EAC=∠B,∠ADE与∠DAE相等吗? 这是一道教科书上的原题,一道经典的外角题,我们拿到题时,首先思考,这两个角可以扮演什么角色,显然,图中∠DAE可看作组合角,即∠DAC与∠CAE的和,而∠ADE若看作内角,无法施展,联想到外角, 是∠B与∠BAD的和,则问题可解. ∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD中,∠ADE=∠B+∠BAD, ∠DAE=∠CAD+∠EAC, ∵∠EAC=∠B, ∴∠ADE=∠DAE. Rt△ABC中,∠C=90°,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α. (1)若点P在边AB上运动,则∠α、∠1、∠2之间的关系为:______; (2)若点P运动到边AB的延长线上,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.
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