终于迎来开学季 写在前面 转眼已经开学一周,不知同学们是否正式进入了开学状态,本讲开始,我们从八上的《全等》出发,来谈谈怎样分割全等图形,以及图形变化中的“对应”问题. 一、怎样分割全等图形 例1: 请把一个正方形分成四个全等的图形,你有多少种不同的分法? 分析: 这是一个小学里就经常做的题目,相信同学们还是可以画出几种的,但解决这类题的关键是什么呢?其实,我们通过几种画法,不难发现,我们首先要把正方形一分为二,分成两个全等的图形,那么必然要经过原正方形的中心,即对角线的交点,这时候再一分为二,问题就解决了,可以通过平移,旋转,翻折等图形变化得到.所以,本题应先找中心! 解答: 例2: 请把一个等边三角形分成两个、三个、四个全等的三角形,你能把它分成三个全等的四边形吗? 分析: 上题中,我们只需画出全等图形,找到中心,自由发挥即可,但本题有所限制,相信分成两个,四个不难,大家都想到了从边出发,找中点,而要分成三个,则需要从角出发.同时,我们也可以观察,分成的几个小三角形可以通过怎样的图形变化得到. 而要分成三个全等的四边形,则只需在分成三个全等的三角形基础上,稍作旋转变化即可. 解答: ![]() 例3: 将下图分成四个全等的图形,而且每一个图形中恰好有“巧分图形”四个字. ![]() 分析: 图形中有36个小方格,平均分为四份,则每一份有9格; 因为每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字,所以第一步必须要把相同的字分开; 由之前的经验,一般来讲,分成的四个全等图形可以通过旋转后重合,而旋转中心必然是大正方形的中心点,所以中心点周围的四个方格应该是分属于四个图形的,其中有一块已有“巧”字,则“巧”字只能与下面一格的“图”字相连. 解答: ![]() 二、图形变化中的“对应” 我们知道,全等图形是指两个能够完全重合的图形,研究两个图形的关系,通常可以通过平移,旋转,翻折得到. 以三角形为例,其组成元素是边和角,全等三角形的对应边相等,对应角相等是我们重点需要研究的,我们就以三种变换的最基本图形为例,来感受下对应! 在书写中,为了方便,在由全等得到对应边,对应角相等时,我们把同一个三角形中的元素写在等号的同侧,同样注意字母对应!
由此,我们可以继续研究捆绑旋转 ![]() “捆绑旋转”秒杀一类全等填空题 ![]() ![]() 解析: 本题不难,DE⊥BC.常规方法必然是延长DE交BC于F,用八字形结论或者直接借助∠C和∠D之和为90°即可. 但是我们可以换个角度看问题,不难发现这两个三角形全等可以看作由其中一个三角形绕点A旋转90°到另一个三角形得到.我们更多时候关注了CA旋转到EA,BA旋转到DA,却忽视了三角形旋转时,是 “捆绑旋转”的,不仅是点在旋转,每条边都在旋转,那么CB也可以绕点A旋转90°到ED,则此时DE⊥BC. ![]() 解析: 这个模型是经典中的经典,其中隐藏的结论极多,这次我们先从最简单的全等入手. 不难发现△BCD≌△ACE,从“捆绑旋转”角度来看,△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE,则BD也绕点C顺时针旋转60°到AE,即∠BFA=60°,∠BFE=120°. ![]() 分析: 本题是一道SAS全等的简单题,有边等的条件,根据平行,可得内错角相等,即有“一边一角”条件,易得还有一边作为公共边相等,即可得证.但是在书写过程中,还是容易出现许多问题,现展现如下. 证明: ∵AD∥ BC,∴∠DAC=∠BCA 错误1:对应顶点不对应 在△ADC和△ABC中 …… ∴△ADC≌△ABC ( SAS ) 剖析: (全等符号在编辑时默认成这个样子,见谅) 这是最常见的错误,许多同学认为,这两个三角形的全等可以看作由其中一个沿AC边翻折得到,其实不然!由条件可知,四边形ABCD实为平行四边形,则AC为其对角线,则这两个三角形是关于对角线AC的中点中心对称,也可以说其中一个三角形绕AC中点旋转180°可与另一个三角形重合. 所以可知,若由△ADC绕AC中点旋转180°,则A点旋转后与原来的C点重合,C点与原来的A点重合,应为△ADC≌△CBA. ![]() ![]() ![]() 小结:其实三角形全等最重要的是确定对应顶点,在书写前,仔细观察三个对应顶点,做到一一对应,那么,接下来在写对应边和对应角时,字母顺序就不会错了. |
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