轴对称这一章,知识点琐碎,内容繁杂,极易混淆,因此,计划利用3~4讲的篇幅,帮助同学们把握重难点,有所突破! 原创文章, 未经允许, 不得转载! 1、轴对称 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴. 两个图形中的对应点叫对称点. 2、轴对称图形 把一个图形沿一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这个图形关于这条直线(成轴)对称. 3、轴对称与对称轴的区别与联系 区别: 轴对称指的是两个图形的位置关系,而轴对称图形指的是具有对称性的某一个图形. 联系: 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体就是一个轴对称图形. 如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两部分图形就成轴对称. 4、一些典型图形的对称轴条数和表述语言 正方形有4条对称轴,分别是对角线所在直线,2条;对边中点连线所在直线,2条. 长方形有2条对称轴,是对边中点连线所在直线,2条. 等腰三角形有1条对称轴,是顶角顶点与对边中点连线所在直线.(或顶角角平分线,底边中线,底边上的高所在直线) 等边三角形有3条对称轴,分别是任意顶点与对边中点连线所在直线,3条.(或任意角角平分线,任意边的中线,任意边上的高所在直线) 等腰梯形有1条对称轴,是上底中点与下底中点连线所在直线. 圆有无数条对称轴,分别是直径所在直线,无数条. 5、垂直平分线(中垂线)定义 垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 书写格式:
判定: ∵AO=A′O,∠1=90°, ∴l 是AA′的垂直平分线. 性质: ∵l是AA′的垂直平分线, ∴AO=A′O,∠1=∠2=90° . 6、轴对称性质 成轴对称的两个图形全等,且 (1)对应点的连线被对称轴垂直平分. (2)对应点的连线互相平行(或在同一条直线上). (3)对应线段相等,对应角相等. (4)对应线段所在直线的交点在对称轴上(或对应线段所在直线互相平行). 如图: (1)AA′,BB′,CC′,DD′,被l垂直平分.
(2)AA′∥BB′∥CC′,CC′、DD′在同一直线上. (3)AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,AD=A′D′, ∠BAD=∠B′A′D′,∠ABC=∠A′B′C′, ∠BCD=∠B′C′D′,∠CDA=∠C′D′A′. (4)BA、B′A′,BC、B′C′,CD、C′D′的延长线交点在l上. DA、D′A′的延长线平行. 7、对称轴的作法 法1:作一条对应点的连线,并作其中垂线. 法2:作两条对应点的连线,并分别作其中点,两点确定一条直线. 法3:分别延长两对对应线段,确定两个交点,两点确定一条直线. 8、给出一个图形及对称轴,作其对称图形的作法 过原图形各点画对称轴的垂线,以各点到垂足的距离为半径,截取相等,将所作对应点分别相连.
| 例1: 请在下列三个2×2的方格中,各画出一个三角形,要求所画三角形与图中三角形成轴对称,且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合,并将所画三角形涂上阴影. 分析: 我们应该利用轴对称图形的性质,先选择不同的直线当对称轴,再作对称图形.显然大方格作为正方形,有4条对称轴,而还有一条比较难想,对称轴可以经过斜边和直角边的中点. |
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| 如图,桌面上有A、B两球,若要将B球射向桌面任意一边,使一次反弹后击中A球,则可以瞄准的点有哪些? 分析: 本题中,对于桌面反弹的问题,其实属于物理中的光路问题,入射角等于反射角,而将入射角作对称后,恰好与反射角是对顶角,光线在同一直线上,因此我们考虑作对称. |
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| 如图是一个台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹),则该球最后落入的球袋是______袋. 分析: 本题与例2类似,但如果每次都作对称,未免太过麻烦,我们不难发现入射线与桌边的夹角为45°,则反射后的夹角也为45°,问题得解. |
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| 如图,已知∠AOB=60°,点P为∠AOB内一点,分别作点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2,交OA于点M,交OB于点M. (1)连接OP1,OP2,求∠P1OP2的度数. (2)若P1P2=8,求△PMN周长. 分析: (1)要求∠P1OP2的度数,直接求显然很困难,我们不妨从对应线段考虑,则想到连接OP. (2)同样的,将组成三角形的三条线段中,能找到对应相等的线段找出,进行转化. |
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| 如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,△A′B′C′和△A′′B′′C′′关于直线EF对称. (1)画出直线EF; (2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB′′与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系. 分析: (1)问不难,只需用3种方法中的任意一种即可. (2)问与例3类似,准确依据题意,画出图形后,根据对称性,连接对应线段就能有所突破. (1)如图,连接B′B′′,C′C′′,各取中点,连接后,直线EF即为所求. (2)连接OB′, ∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称, ∴∠BOM=∠B′OM, 同理可得∠B′OE=∠B′′OE, ∴∠BOB′′=∠BOB′+∠B′OB′′ =2∠B′OM+2∠B′OE =2∠MOE=2α. |
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