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昨天介绍了2020年深圳中考数学几何压轴题，接下来介绍一道同类题。也可以称之为该题的母题。 【节选】（2020·深圳） 正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AE/AG=AB/AD=2/3，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE²+BG²的值是定值，请求出这个定值． 通过去粗取精，可以得到一个核心的图形，如下图绿色部分： 【母题探究】 （2019·天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB²+CD²＝AD²+BC²； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【分析】 题（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； 题（2）连接对角线，利用勾股定理建立等量关系即可； 题（3）只需在题（2）的基础上面，分别求出CG²，BC²和BE²即可． 【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下： ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）如图2， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD²+BC²＝AO²+DO²+BO²+CO²， AB²+CD²＝AO²+BO²+CO²+DO²， ∴AD²+BC²＝AB²+CD²． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG²+BE²＝CB²+GE²， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2， ∴GE²＝CG²+BE²﹣CB²＝73， ∴GE=√73． 【总结】 经典的人人都爱，所以往年一些典型的中考真题偶尔也可以翻出来复习复习。 因此，有以下命题： “四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，则 AB²+CD²＝AD²+BC²”。 |
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