高斯取整函数虽然在中学阶段不做要求,但在很多竞赛培优中都有所涉及。下面对高斯取整函数的定义及相关性质做简单的解读,帮助同学们拓展视野,有兴趣的同学可以自行查找资料学习。 定义:我们用[x]表示不超过x的最大整数,则称y=[x]为高斯取整函数。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+a(0≤a<1),故而[x]≤x<[x]+1,我们记{x}=x-[x]为x的小数部分。 根据定义,我们给出如下简要的性质: 1、当x1≤x2时,有[x1]≤[x2]; 2、[n+x]=n+[x],其中n为整数; 3、x-1<[x]≤x<[x]+1; 4、对于一切实数x,y有[x]+[y]≤[x]+[y]; 5、若x≥0,y≥0,则[xy]≥[x][y]; 上述性质不难理解,下举两例相关应用: 例1 如果x为任意实数,用[x]表示不大于x的最大整数,例如:[-7] = 7,[-3.1] = -4,则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________ 分析:此题即[x]=3,根据高斯取整函数的定义,x的取值范围为3≤x<4 例2 分析:根据所给概念(注意跟前面所给小数部分的记号有不同),{x}与[x]之间满足{x}-[x],故而所求等式事实上就是{x}+{x}-[x]=4等价于{x}=3,而x为整数,故而x=2. |
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