【原】2021丝绸之路数学竞赛 中文翻译

1.给定一个由组成的字符串. 对任意正整数, 设表示, 长度为的字符串中, 出现的次数的最大值. (例如,,则, 因为在和中各出现了两次, 但你无法构造出现三次的长度为或的字符串).
已知对给定字符串, 存在正整数, 使得. 求证: 中所有字符相同.

2.对任意正整数, 证明不等式:

(其中表示的小数部分)

3.在中, 为中点. 上一点满足. 的外接圆和的外接圆再次相交于点. 设为上弧的中点. 直线相交于点.
求证: 平分.

4.整数 满足 且.
求证:  

老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。