【原】第7招：一刀两端-分离参数法解恒成立问题

第7招：一刀两端 - 分离参数法解恒成立问题

在解答导数中参数范围及恒成立类命题中,分离参数并构造函数利用图像关系解答有时能起到事半功倍的效果,分离参数法让解题的思路更加简洁明了,需要注意的是,分离参数法要结合定义域关系,在处理恒成立问题时也要考虑符号是否会出现变化。

常见形式:

直接分离,不等式或等式一端只有一个参数,可看作一条水平的直线,另一端通过构造函数,对函数进行求导得到单调性,极值点的关系,然后由数形结合作答;

间接分离,不等式或等式一端保留点斜式结构,可看作过一个定点的直线,其参数为直线斜率,另一端通过构造函数,对函数进行求导得到单调性,极值点的关系,然后由数形结合作答;

需要注意的是,分离参数法是一种解题思路,有时在解答复杂问题时,还要结合换元,重构函数,分类讨论等进行作答。

(2020全国Ⅱ卷文)已知函数.

(1)若,求的取值范围;

(2)设,讨论函数的单调性.

【答案】见解析

【解析】(1)由题意可得;

令,则.

当时,,当时,.所以在区间单调递增,在区间单调递减.当时,取得最大值为;

所以的取值范围为.

(2),.

取,得,则由(1)知,当时,,即,故当时,,从而.

所以在区间 单调递减.

1.（福建三明2019期末质量检测）已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若恒成立,求实数的取值范围.

2.已知.

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数存在个零点,求实数的取值范围.