【解题研究】（2021广西贵港26）旋转变换·手拉手·全等与相似

2021广西贵港26题

已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．

（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　       　；

（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

试题分析

本题立意新颖，既注重基础知识，同时又具有一定的综合性．解题时，用到模型思想，注意识模、用模．

（1）全等型手拉手，AE与CF是拉手线，证明△AOE≌△COF（SAS），可得结论．

（2）证明方法类似（1），全等型手拉手，AE与CF是拉手线．

（3）相似型手拉手，首先证明∠AED＝90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．

备注：

1．直角+中点→直角三角形斜边中线等于斜边一半（如图1、图2，OA＝OC＝OB）；

变式1：若∠BAC＝90°，OC＝OA，可推出OA＝OB，即点O是AB的中点；

变式2：若OA＝OC＝OB，可推出∠BAC＝90°．

2．手拉手模型

解题时，分辨符合条件的两个母三角形，然后确定由拉手线与头构成的子三角形，证明全等或相似．

（1）顶角相等的两个等腰三角形共顶点手拉手→产生的三角形全等；

（2）两个相似的非等腰三角形的一对应角的顶点手拉手→产生的三角形相似

题目解析

解：（1）结论：AE＝CF．

理由：

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，

∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，

∵∠AOC＝∠EOF＝90°，

∴∠AOE＝∠COF，

∵OA＝OC，OE＝OF，

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE＝CF．

（2）结论成立．

理由：∵∠BAC＝90°，OC＝OB，

∴OA＝OC＝OB，

∵∠AOC＝∠EOF，

∴∠AOE＝∠COF，

∵OA＝OC，OE＝OF，

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE＝CF．

（3）由旋转的性质可知OE＝OA，

∵OA＝OD，

∴OE＝OA＝OD＝5，

∴∠AED＝90°，

∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，

∴  ，

∴△AOE∽△COF，

∴  ，

∵CF＝OA＝5，

∴   ，

∴AE  ，

∴ DE 

          ．

解后反思

1．关注“基本图形” 提升“思维品质”，一个平面几何图形，常可分解成若干个基本图形．因此，基本图形是构成复杂图形的细胞．证明平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形的性质去证，常可思路广阔，容易证明．平时注意从习题中提炼常用的基本模型，并通过识模、用模，从而强化对基本图形的理解．

2．纵观各地的中考试题，常常出现一类提炼所得的基本模型相关的题目．