初中几何 三角形的“四心”之内心

理解内心的定义，就知道在遇到内心时，有两种作辅助线的选择：

1、连接内心与顶点，得角平分线。

2、向三角形三边作垂线。

性质2的推导简单，可以由飞镖模型直接得到，也可以利用三角形外角的知识，所以留给同学们，自己去完成。

此方法体现的是初中几何的重要方法：等面积法。

一线三等角的全等模型（K模型），不能快速识别的同学要多练了。

内心是内切圆圆心，作出内切圆后，自然地出现切线长定理，利用切线长定理列三元一次方程组。

相似三角形周长比等于对应边的比，还等于对应高的比，灵活运用相似三角形的性质。

由等腰三角形，想到“三线合一”，从而得到“中点”，正好和题目给的中点，构造中位线。

∠C所在的直角三角形，三边关系不明，所以要找它的等角。结合内心的性质，往AC边作垂线，构造直角三角形。

告诉内心，就是在告诉角平分线，所以BO为∠CBA的角平分线。

等腰三角形，三线合一，AE既是角平分线，又是高线。

第（2）问分析思路：看到乘积式，考虑利用相似来证，但是三条线段没有形成两个相似三角形，所以作等量代换，让其中一条MI=NI，等式变为MI*NI=BM*CN，从而找到要证的两个相似三角形。再快速识别出一线三等角的相似模型，得证。

遇120度，作外角，构造特殊直角三角形，遇内心往三边作垂线，都是比较常规的思路。这里没有做出内切圆，但是你要找到内切圆是客观存在的，所以AN=AF、BN=BE、CE=CF还是借用了切线长定理。

思路分析：最后这题辅助线作的比较多，充分体现了，我上次讲过的辅助线三大来源。作AE,我是想拆分∠BAC，因为它是∠ACD的3倍。分离出∠EAC之后，∠BAE=2∠ACD，作∠BAE角平分线,再做∠BEA的角平分线，这样做有三个好处，一是得到内心，二是构造出60度这个特殊角，三是构造出了一组全等三角形。