◎ 一元二次方程根的判别式的定义 根的判别式: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根; 定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根; 定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。 根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0; 定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0; 定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。 注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。 (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。 (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 ◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根; 定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根; 定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。 2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0; 定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0; 定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。 注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。 (2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。 (4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。 3、根的判别式有以下应用: ①不解一元二次方程,判断根的情况。 ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ④应用根的判别式判断三角形的形状。 ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。 ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。 ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。 ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。 ◎ 一元二次方程根的判别式的特性 根的判别式有以下应用: ①不解一元二次方程,判断根的情况。 ②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ④应用根的判别式判断三角形的形状。 ⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。 ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。 ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。 ⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。 ◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标 1、能用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况。 2、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式b2-4ac对根的情况的判断作用。 3、在理解根的判别式的推导过程中,体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求:掌握 课时要求:80 考试频率:常考 分值比重:4 |
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