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已知P(1,1)、Q(2,1),求解以下有关问题。 (1)求线段PQ中点坐标P1。 (2)求线段PQ中间某点P2的坐标,使得1PP2=2P2Q。 (3)求线段PQ延长线上,且在Q点右边的点P3坐标,使得PQ:QP3=1:2。 (4)计算PQ两点的距离。 (5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1,以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。 (6)求以P,Q两点长轴为焦点,离心率e=1/2时的椭圆方程。 (7)求以P,Q两点长轴为顶点,离心率e=1/2时的椭圆方程。 (8)求以P,Q两点为实轴焦点,离心率e=3/2时的双曲线方程。 (9)求以P,Q两点为实轴顶点,离心率e=3/2时的双曲线方程。 (10)求以P为焦点,Q为顶点的抛物线方程。 ![]() (1)求线段PQ中点坐标P1。 解:设中点P1的横坐标为x0,纵坐标为y0, 根据题意,有: x0=(1+2)/2=3/2; y0=(1+1)/2=1. 即中点P1的坐标为P1(3/2, 1). (2)求线段PQ中间某点P2的坐标,使得1PP2=2P2Q。 解:介绍两种方法来求P2点坐标。 思路一:两点间距离公式法。 设P2(x2,y2),由两点间距离公式有: |PP2|=√[(1-x2)^2+(1-y2)^2]; |P2Q|=√[(2-x2)^2+(1-y2)^2]. 1^2[(1-x2)^2+(1-y2)^2]=2^2[(2-x2)^2+(1-y2)^2] 1-2x2+x2^2+1-2y2+y2^2=16-16x2+4x2^2+4-8y2+4y2^2 3x2^2+3y2^2-14x2-6y2+18=0. 又因为点P2和P,Q在一条直线上,P2P与PQ的斜率相等,则: (y2-1)/(x2-1)=0, 即:y2-1=0 y2=1,代入距离关系式方程有: 3x2^2+3*1-14x2-6*1+18=0 化简得:3x2^2-14x2+15=0,即: (3x-5)(x-3)=0,由于1<x2<2, 求出x2=5/3,进一步代入求出y2=1. 思路二:定比分点法。 因为PP2/p2Q=2/1,所以定比分点λ1= 2. 则所求P2的横坐标x2=(1+2λ1)/(1+λ1) 同理,坐标轴y2=(1+1λ1)/(1+λ1)。 即可求出x2=5/3,y2=1。 所以所求点的坐标P2(5/3,1). ![]()
(3)求线段PQ延长线上,且在Q点右边的点P3坐标,使得PQ:QP3=1: 2。 解:用定比分点法求解。 因为PQ:QP3=1: 2,所以定比分点λ2=-3/2; 则所求P3的横坐标x3=(1+ 2λ2)/(1+λ2) 同理,坐标轴y3=(1+1λ2)/(1+λ2)。 即可求出x3=4,y3=1。 所以所求点的坐标P2(4,1). (4)计算P、Q两点的距离。 解:根据两点间距离公式有: d=|PQ|=√[(1-2)^2+(1-1)^2] =√(1+0)=1. 即P、Q两点的距离为1。 (5) 求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1,以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。 解:由P(1,1)、Q(2,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为: k1=(1-1)/(2-1)=0. 则P,Q的直线方程L1的方程为: y-1=0,即y=1. 由题意知,直线L2的斜率k2不存在, 即可求出所求的直线L2的方程为:x=3/2。 (6)求以P,Q两点为长轴焦点,离心率e=1/2时的椭圆方程。 解:根据题意设椭圆的半焦距为c,则有 2c=|PQ|=1; 即c=1/2,此时c^2=1/4; 又因为离心率e=1/2=c/a,则: a=1,此时a^2=1; 此时b^2=a^2-c^2=1-1/4 =3/4, 故此时椭圆方程为: (x-3/2)^2+(y-2/2)^2/(3/4)=1. ![]()
(7)求以P,Q两点为长轴顶点,离心率e=1/2时的椭圆方程。 解:根据题意设椭圆的半焦距为c,长半轴为a,则有: 2a=|PQ|=1,此时a=1/2, 进一步得a^2=1/4. 由离心率e=1/2=c/a,则: c=1/4,此时c^2=16; 由b^2=a^2-c^2=1/4-1/16 =3/16, 故此时椭圆方程为: (x-3/2)^2/(1/4)+(y-2/2)^2/(3/16)=1. (8)求以P,Q两点为实轴焦点,离心率e=3/2时的双曲线方程。 解:根据题意设双曲线的半焦距为c,则有 2c=|PQ|=1, 即c=1/2,此时c^2=1/4; 由离心率e=3/2=c/a,则: a=1/3,此时a^2=1/9; 由a^2+b^2=c^2得: b^2=c^2-a^2=1/4-1/9 =5/36, 故此时双曲线的方程为: (x-3/2)^2/(1/9)-(y-2/2)^2/(5/36)=1. ![]()
(9)求以P,Q两点为实轴顶点,离心率e=3/2时的双曲线方程。 解:根据题意设双曲线的半焦距为c,长半轴为a,则有: 2a=|PQ|=1,此时a=1/2, 进一步得a^2=1/4. 由离心率e=3/2=c/a,则: c=3/4,此时c^2=9/16; 由a^2+b^2=c^2得: b^2=c^2-a^2=9/16-1/4, =5/16, 故此时双曲线方程为: (x-3/2)^2/(1/4)-(y-2/2)^2/(5/16)=1. (10)求以P为焦点,Q为顶点的抛物线方程。 解:以P(1, 1)为顶点,Q(2, 1)为顶点则有: p/2=|PQ|=1, 则2p=4,此时抛物线的方程为: (y-1)^2=-4 (x-2)。 |
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