今天要讨论的这道题是一道老题,深入挖掘后别有洞天,笔者将借此题串联初三上半学期(“相似三角形”和“锐角三角比”两章)主要知识点。 例 已知,如图,在△ABC中,AE是中线,点D在边AB上,联结CD交AE于点G,若BD=DC,AE=AC 1 找出图中的相似三角形,求出相似比 (知识点:相似三角形的判定) / 第一组相似/ / 第二组相似/ 注: ① 因为△ABC∽△GCE,EG:AC=1:2, 所以AG:AC=1:2 ② 因为DG:AD=AD:DC=1:2 所以DG:DC=1:4,DG:GC=1:3 2 求:AD:DB的值 (知识点:平行线比例线段) 分析 可视为直线CD截△ADE,以教材为标准,采用添加平行线构造基本型的策略,笔者认为比学会添加平行线更难的是发现需要添加平行线。 本题有很多种添加平行线的方法,还可以用梅内劳斯定理或面积法,读者可自行探索。 分析 过点A做BC平行线交CD延长线于点P 因为AP:EC=AG:GE=1:1, 所以AD:DB=AP:BC=1:2. 3 联结DE,已知BC=4,S△EGC=5, 求DE的长 (知识点:相似三角形的性质) 4 若tan∠ACD=0.5,AC=10,求DG (知识点:解直角三角形) 解法一 过点A做AH⊥GC于点H 在Rt△ACH中,tanC=1/2,AC=10 AH=2√5,HC=4√5 在Rt△AGH中,AG=5,∴ GH=√5 注意:本题是典型的两边对一角, 可能GC=GH+HC=5√5(如上图) 也可能GC=HC-GH=3√5(如上图) ∴ DG=(1/3)GC=5√5/3或√5 解法二 过点E做EH⊥AB于H 已证∠BAE=∠ACD,即它们的正切值相等 AE=10,AH=4√5,HE=2√5 ” 本题图形简洁,内含丰富,其中“第二组相似三角形”的发现,面积转化,添加平行线构造基本型,解三角形,利用几何关系(相似)列方程等皆是该阶段的重点和难点,弄懂一题可以收获多多,起到减负增效的功能。 |
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