【原】y=(1+x)^(1/x)的性质(一)

1、（x＞0）f(x)=(1+1/x)^1/x是减凸函数（已证）。

2、f(0)=e(自然底数)≈2.718、f(1)=2、f(∞)=1。

3、f′(0)=-e/2≈-1.359、f′(1)=1-2ln2≈-0.3863、f′(∞)=0。

4、f(x)与线性函数的关系——通过两点（0，e）、（1，2）

（1）线性函数g(x)=[(2c+2d-ed)x+ed]/(cx+d).

（2）d=0，g(x)=2为常函数。c=0，g(x)=(2-e)x+e为直线。

（3）渐近线：x=-d/c＜0、y=2+(2-e)d/c＜2。

（4）限于研究二者之间的减凸函数：d＞0、c＞0。

        设d=1，g(x)=[(2c+2-e)x+e]/(cx+1).

        g′(0)=-(e-2)(c+1)、g′(1)=-(e-2)/(c+1).

5、先讨论(0＜x＜1)的情况：

p=1/(e-2)-1/2≈0.8922、q=(e-2)/(2ln2-1)-1≈0.8594。

（1）当c接近∞时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，无交点。

（2）当c≥p时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，无交点。

（3）当q＜c＜p时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，有一个交点。

（4）当c≤q时，g(x)与f(x)在(0＜x＜1)内，无交点。