八（九）年级|“函数（一次、二次、反比例函数）及其图象”考点精细解读

知识点1：平面直角坐标系及坐标

1．平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限．

2．点的坐标的概念

（1）点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．

（2）平面内点的坐标是有序实数对，当  时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标．

3．平面直角坐标系内点的特征：

① P(x，y)在第一象限：x＞0，y＞0；

② P(x，y)在第二象限：x＜0，y＞0；

③ P(x，y)在第三象限：x＜0，y＜0；

④ P(x，y)在第四象限：x＞0，y＜0；

⑤P(x，y)在x轴上：y＝0

⑥ P(x，y)在y轴上：x＝0

⑦ P(x，y)在第一、三象限平分线上：y＝x   

⑧ P(x，y)在第二、四平分线上：y＝- x

⑨ P(x，y)在某个函数图象上：x、y适合这个函数解析式．

4．平面直角坐标系内点的对称特征：

点P与点P′关于x轴对称  横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点P′关于y轴对称  纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点P′关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数

备注：关于什么轴对称，什么坐标不变；关于原点对称，横纵坐标全改变．

5．平面直角坐标系内距离的求法：

① M(x，y)到x轴的距离为：  ；

② M(x，y)到y轴的距离为：  ；

③ M(x，y)到原点（0，0）的距离:  ；

④ M(x，y)到N(m， n)的距离：MN＝   ；

6．中点坐标公式：

已知A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂） M为AB的中点， 则：M (  ，  )；

7．点的平移：

左减右加变x（横坐标），上加下减变y（纵坐标）．

知识点2：函数及其相关概念

1．变量与常量、函数

（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．

（2）一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

2．函数的解析式、函数值及自变量的取值范围

（1）用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．

（2）函数值：对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值．

（3）自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围．

3．函数的三种表示法

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法．

4．描点法画函数图象的一般步骤

(1)列表：在自变量的取值范围内取值，计算对应的函数值，列成表格；

(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；

(3)连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来．

5．确定自变量的取值范围

解析式的形式	自变量的取值范围
整式型	全体实数
分式型	使分母不为零的实数
二次根式型	使被开方数非负的实数
分式与二次根式	使分母不为零，且被开方数非负的实数

6．解坐标系中点的规律探究题的一般步骤

(1)求坐标，标序号：根据题意求出前几个点的坐标，并按顺序标上序号排列；

(2)算因式，找关系：寻找坐标与序号(或坐标)之间的数量关系(等差关系、等比关系或恒等变化等)，并验证；

(3)看图象，定周期：根据变化规律，结合图象模拟运动，确定运动周期；

(4)循环内，求坐标：先根据运动次数确定运动结束时与第一个周期内哪个情况相同，再确定待求点的坐标．

知识点4：正比例函数（特殊的一次函数）图象及其性质

1．正比例函数的解析式：y＝kx (k≠0，k为常数)；

2．正比例函数的图象：经过原点的一条直线；

3．正比例函数的图象的画法：两点定位法，（0，0）、（1，k）；

4．正比例函数的图象位置： k＞0， 图象过一、三象限； k＜0图象过二、四象限；

5．正比例函数的增减性： k＞0，为增函数；k＜0，为减函数；

6．正比例函数的解析式的求法：待定系数法（设、代、解、还原）．

知识点5：一次函数的图象及其性质

1．一次函数的解析式：y＝kx+b (k≠0，k，b为常数)；

2．一次函数的图像：一条直线；

3．一次函数图象的画法：两点定位法，（0，b）、(，0)；

4．一次函数的图象所经过的象限：由k、b共同决定

k＞0， 图象过一、三象限，函数为增函数；

k＜0，图象过二、四象限，函数为减函数；

b＞0， 图象与y轴交于正半轴，过一、二象限；

b＜0，图象与y轴交于负半轴，过三、四象限．

5．图象与x轴交点求法：令y＝0，求x，即(，0)；

图象与y轴交点求法：令x＝0，求y，即(0，b)；

6．图象与坐标轴围成三角形的面积：S＝；

7．一次函数之间的关系：（以直线l₁：y＝k₁x+b₁，直线l₂：y＝k₂x+b₂为例）

① 若k₁＝k₂，则l₁∥l₂ ；  

② 若k₁ k₂＝﹣1，则l₁⊥l₂；

③ 若k₁≠k₂，则l₁、l₂相交（交点坐标的求法：列方程组、解方程组、写坐标）；

8．解析式的求法：待定系数法（设、代、解、还原）

(1)一设：设一次函数解析式为y＝kx＋b；

(2)二代：找出函数图象上两个点的坐标，代入解析式中，得到二元一次方程组；

(3)三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值；

(4)四还原：将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b中．

9．解方案型应用题的一般方法

(1)求解析式

根据题意设未知数，求出一次函数解析式．

(2)方案决策

①若给定自变量的取值范围，则将自变量的值代入解析式中，求出因变量的值，再进行取舍；

②若给定因变量的取值范围，则将因变量的值带入解析式中，求出自变量的值，再进行取舍；

③若自变量与因变量的值均未给出，则一般为多解析式之间的数值取舍，可根据y₁＜y₂，y₁＝y₂，y₁＞y₂的解集，进行分类讨论取舍．

10．一次函数信息型应用题的解答方法

(1)表格信息型

①先根据题意，结合表格所给出的信息，确定物品单价、数量关系或分配数量等；

②再结合题目设出自变量，根据数量关系，列出函数关系式；

③最后由题目所给出的限制条件，得出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性，求出最值．

(2)函数图象型

①解析式型：先根据函数图象，结合题意分别求出函数解析式，再根据自变量的取值范围分别讨论函数值的大小关系，确定最优选择；

②分析运动型：给出一或两个运动过程的函数图象，结合点的坐标以及题目信息，分析运动过程，求出相关信息，如行程问题、追及问题等．

11．根据两函数图象确定不等式解集的方法

(1)先确定交点的坐标，如图中点A．

(2)在交点左右两侧观察图象的位置：

如图，若在点A左侧，直线l₁在直线l₂下侧，则y₁＜y₂，故x＜x_A即为不等式k₁x＜k₂x＋b的解集；

若在点A右侧，直线l₁在直线l₂上侧，则y₁＞y₂，故x＞x_A即为不等式k₁x＞k₂x＋b的解集．

知识点6：反比例函数图象及其性质

1．反比例函数的解析式：y＝   (k≠0，k为常数)．

重要变形：⑴ y＝kx^﹣1；⑵xy＝k (k≠0，k为常数)；

特别提醒

（1）自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．

（2）反比例函数图象上点的特点

当点A(x，y)在函数y＝kx的图象上时，点A的横、纵坐标的乘积为k，即xy＝k.

2．反比例函数的图像是双曲线

它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

特别提醒

在实际问题中，反比例函数自变量的取值范围因实际背景而受到限制，这时对应的反比例函数图象会是双曲线的一支或一段．在实际问题中，要注意标明自变量的取值范围．

3．图象位置与增减性：

k＞0， 图象过一、三象限，在每个象限内为减函数；

k＜0，图象过二、四象限，在每个象限内为增函数；

特别提醒

(1)在讨论反比例函数的增减性时，一定要说明函数图象所在的象限，因为反比例函数的图象不是连续的曲线，而是两支分布在不同象限的曲线．

(2)反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它的图象与x轴，y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

4．反比例函数y＝   (k≠0)中 k的几何意义：由双曲线y＝   (k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|．

5．解析式的求法：待定系数法（设、代、解、还原）

特别提醒

由于在反比例函数y＝  中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．

6．比较反比例函数图象上点的坐标大小的方法

(1)求值法：将点代入反比例函数解析式，求出点的横(纵)坐标的数值，直接进行比较即可．

(2)象限法：结合点的横(纵)坐标的符号，①若所比较的点在同一象限，根据反比例函数的增减性进行比较即可；②若不在同一象限，则通过判断横(纵)坐标的正负进行比较即可．

7．反比例函数与一次函数综合题的解答技巧

(1)求解析式：一般是由一个点的坐标先求反比例函数的解析式，再求一次函数的解析式．

(2)确定交点坐标：联立两个函数解析式得方程组，解方程组即可．

(3)解不等式：实质就是判断函数值的大小，数形结合，以交点为界，根据“谁在上方，谁就大”确定自变量的取值范围即可．

(4)计算相关面积时：①利用横纵坐标轴的相互垂直得出高；②善于将点的横纵坐标转化为图象的边长或高；③巧妙运用k的几何意义；④熟练割补法、和差法求面积．

知识点7：二次函数图象及其性质

1．解析式的形式

①一般式：y＝a x²+bx+c (a≠0，a、b、c为常数)；

②顶点式：y＝a(x－h)²＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；

③交点式：y＝a（x﹣x₁）（x﹣x₂）(a≠0，x₁、x₂为抛物线与x轴交点的横坐标)

2．图象：一条抛物线．

3．图象开口方向

① a＞0时，开口向上， ② a＜0时，开口向下；

4．图象开口大小：  越大，开口越小．

5．顶点坐标的求法

（1） 若是顶点式y＝a(x－h)²+k，可以直接写出，即（h，k）；

（2） 若是一般式：

① 用配方法化为顶点式后，直接写出．

y＝ax²+bx+c＝a(x－  )²+  ；

② 用公式法求，顶点坐标公式为（﹣   ，  ）；

③ 先用公式法求横坐标，再用代入法求纵坐标．

（3） 若是交点式，横坐标为  ，再用代入法求纵坐标．

6．二次函数对称轴的求法

① 若是顶点式y＝a(x－h)²+k，则对称轴为x＝h的直线；

② 若是一般式，则对称轴为直线x＝－  

③ 若是交点式，则对称轴为直线x＝  

7．二次函数的最大（小）值

① a＞0时，y有最小值为顶点的纵坐标，此时，x等于顶点的横坐标；

② a＜0时，y有最大值为顶点的纵坐标，此时，x等于顶点的横坐标．

8．二次函数的增减性：（以对称轴为界）

① a＞0时，左减右增；② a＜0时，左增右减；

9．二次函数图象与坐标轴交点的求法

（1）二次函数图象与x轴交点求法：令y＝0，解一元二次方程求x，即(x₁，0) （x₂，0）；

（2）二次函数图象与y轴交点求法：令x＝0，求y，即(0，c)；

10．抛物线的平移与翻转：

① 抛物线的平移与翻转都需将二次函数化为顶点式；

② 平移规律：左加右减（变x），上加下减变常数；

③ 沿x轴翻转时，a、b、c的符号要变号；沿y轴翻转时，只改变b的符号．

11．二次函数图象与其它函数图象交点的求法：

①列方程组；②解方程组；③写出坐标；

12．二次函数中，各字母系数或式子与它的决定因素

① a的符号抛物线开口

a＞0抛物线开向上； a＜0抛物线开口向下；｜a｜越大，抛物线开口越小；｜a｜越小，抛物线开口越大　

② a、b的符号  抛物线的对称轴位置（口诀是：左同右异）（对称轴为直线x＝－  ）；

a、b同号  对称轴在y轴的左侧；

a、b异号  对称轴在y轴的右侧；

b＝0  对称轴是y轴；

③ c的符号  抛物线与y轴交点（0，c）位置

c＝0  抛物线过原点；

c＞0  抛物线与ｙ轴交于正半轴；

c＜0  抛物线与ｙ轴交于负半轴；

④△＝b²﹣4ac的符号  抛物线与x轴交点个数

△＞0，图象与x轴有2个交点；

△＝0， 图象与x轴有1个交点；

△＜0，图象与x轴无交点；

⑤ 当x＝1时，函数y＝a＋b＋c，

当图象上横坐标x＝1的点在x轴上方时， a＋b＋c＞0；

当图象上横坐标x＝1的点在x轴上时， a＋b＋c＝0；

当图象上横坐标x＝1的点在x轴下方时， a＋b＋c＜0．

同理，可由图象上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号．

13．二次函数图象的画法：

① 列表，取值．（取值时，先取顶点横坐标，然后在它的左右两侧各取2个点）

② 描点

③ 连线（按照自变量由小到大的顺序，用平滑曲线连接）

14．解析式的求法：待定系数法（设、代、求、写）

① 若已知三点坐标，可设一般式y＝y＝ax²+bx+c

② 若已知顶点坐标（h，k），可设顶点式y＝a(x－h)²+k

③ 若已知与x轴的交点坐标(x₁，0) （x₂，0），可设交点式y＝a y＝a（x﹣x₁）（x﹣x₂）．

15．比较二次函数值的大小的方法

(1)代入法：将横坐标代入解析式求值比较．

(2)增减法：先确定二次函数图象的开口方向与对称轴，分两种情况：

①当点在对称轴同侧时，根据函数增减性直接比较大小；

②当点在对称轴的两侧时，可以根据二次函数图象的对称性将点转化到对称轴的同侧，进而根据函数的增减性来比较大小．

16．利用函数图象确定不等式解集的方法

已知函数y₁，y₂的函数图象：

(1)若y₁＞y₂，则函数y₁的图象在函数y₂的图象上方部分所对应的自变量的取值范围即为不等式的解集；

(2)若y₁＜y₂，则函数y₁的图象在函数y₂的图象下方部分所对应的自变量的取值范围即为不等式的解集；

(3)若y₁＝y₂，则函数y₁的图象与函数y₂的图象的交点的横坐标即为方程的解．

17．函数面积最值问题的解题方法

(1)先根据几何图形，利用图形性质或数量关系(或相似关系)，列出二次函数解析式，并注意自变量的取值范围；

(2)再将二次函数解析式化为顶点式，结合自变量的取值范围，确定函数的最值．

18．二次函数利润最值问题的解题方法

类型一：总利润＝(售价－成本)×销售数量

(1)根据题意列出函数解析式；

(2)确定自变量的取值范围(注意是否为整数)；

(3)将解析式化为顶点式，根据函数增减性确定自变量在取值范围内函数值的最大值．

类型二：总利润＝(调整后售价－成本价)×销售数量

(1)确定销售数量的函数解析式，注意自变量表示的是销售单价还是涨价(降价)的量；

(2)根据类型一列出函数解析式；

(3)将解析式化为顶点式，根据函数增减性确定函数值的最大值；

(4)若自变量表示的是涨价(降价)的量，则根据顶点式得出调整后的售价，再确定自变量的值．

19．二次函数中线段问题的一般解题方法

(1)数量关系类

一般是求满足数量关系的线段，找出对应线段，弄清已知点和未知点，设出未知点的横坐标，根据函数解析式用未知数表示出线段的长度，列出满足线段数量关系的等式，求值即可．

(2)长度最值类

①定点最值类：设出点的坐标(一般是横坐标)，利用函数解析式，用未知数表示出线段的端点坐标，进而表示出线段的长，利用二次函数的性质求最值；

②动点最值类：一般是求线段的和差最小值问题，先作一个定点关于动点所在直线的对称点，连接这个对称点与另一个定点的线段的长即为最小值．(更多线段最值问题方法见本书微专题与线段有关的最值问题)

(3)周长最值类

一般是求一个含动点多边形的周长最值，利用转化思想，先观察图形，找出定长线段与不定长线段，然后将求周长问题转化为求动点线段的最值问题，方法同(2)．