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习题教学功能的深度开发 ——以2021年浙江省数学高考卷第17题向量题为例 林 威 杭州市余杭高级中学，浙江 杭州311100 考生的真实声音：第一感受就是向量很多，字母太多，眼花缭乱，当认真看完题目的时候，知道了题目意思以后，还是无法转化信息，无法得出此题的本质，当我走出考场已经才恍然大悟． 倾听学生真实的声音，反思我们的课堂教学，解题三问： 问一：为什么模拟卷的向量题目学生都会做，一到高考不会做？ 问二：为什么考试的时候解不出问题，一出考场就有了解题思路？ 问三：为什么将试题考查的知识点分解成几个单独问题学生都会做，将几个小题综合或者改编后就不会做？ 本题考查向量数量积的运算还有投影的概念理解，其次是多变量最值（范围）的求解，笔者将从13个不同视角解析这道问题． 1.灵动的向量的几何表示——以形助数 用向量研究几何，F·克莱因说初等几何必须依照图形呈现的方式讨论各种不同的情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括，这几个“一般定理”就是向量的加法与减法、数乘、数量积的运算及运算规则、几何意义，以及向量基本定理及坐标表示.向量是研究几何的得力工具，向量可以把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果，这个转化过程体现了数学思维的灵活变通，是数形结合的思想. 向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基础，利用向量进行问题解决时要把遇到的数量关系设法用几何图形表示出 1.2向量知识在教材的变化 人民教育出版社2019年7月出版的新版普通高中教科书A数学必修第二册教材中，没有明确给出向量在另外一个向量上的投影概念，人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积这节内容的第18页里面介绍了投影向量的概念，强化投影向量的理解，注意投影向量与向量投影的区别. 1.3向量几何本质的教学 《标准（2017年版）》指出，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，向量很好的将物理、几何、代数三大角度进行充分的演绎.向量的几何本质是位移，向量是自由的向量，移来移去的向量，作为几何研究对象，借助有向线段的长度和方向刻画向量的大小和方向，向量可以进行几何运算，向量可以刻画点、线、面、空间几何体等几何元素，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（平行、垂直、距离、角度等等），运用“三角形回路”解决几何度量问题. 利用向量的几何法解决问题时，首先要明白向量的代数形式所对应的几何意义[2]. 思维的工具是语言，要学会用向量的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）解决数学问题. 2.回归本质的向量代数表示——强大的多项式运算 没有运算，向量就是一个路标，因为有了运算，向量的威力无穷，向量的加减运算、数乘运算、数量积运算、平面向量基本定理、向量的坐标表示，向量的代数运算转化为多项式运算，本质为数的运算体系.向量代数运算的结果一般考查三角函数问题，单变量（双变量）的一次函数、分式函数、二次函数、三次函数，如果最终结果是二次函数问题，可以从二次函数的图象和性质出发，结合判别式、配方法等化归手段，求最值时还可以结合基本不等式、均值不等式、柯西不等式以及权方和不等式等等，以向量为载体实现数学大概念的深度学习，“醉翁之意不在向量，在于数学多概念多层次思维考查”. 视角六：基于运用坐标法与单变量二次函数性质相结合的求解思路
4. 回归思维与核心素养的生本课堂——以深度学习与大概念教学回答解题三问 习题教学不是简单的书写解答过程，我们的课堂需要经历三个层次： 层次一：解一道向量题； 层次二：使学生全面把握向量的思想本质； 层次三：为老师提供一种不局限于向量的习题教学思路。 4.1课程理念：从“四基”到“四能”，立足大概念突出核心概念 通过高中数学课程学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，从而提高从数学角度发现和提出问题能力、分析和解决问题能力，完善向量大概念，重点关注向量问题的核心概念，近几年浙江省高考数学试题关于向量的核心知识和考查方向见下表： 2013-2021年浙江省数学高考卷向量知识考查情况分析表
从近几年的向量考查来看，向量的坐标表示和数量积、模的运算是考查的重点.问题解决的方法很多，向量的坐标法成为问题解决的通法，适合所有层次的学生，在平时的教学中可以适当多加强调. 4.2以学生为中心：关注两个过程，注重思考探究 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等等，在课堂教学过程中要关注数学概念和思想方法的发生发展过程，突出数学思想的领悟过程，突出数学基本活动经验的积累过程.2019年7月出版的《普通高中教科书·数学》（人教A版）必修第二册第六章设置了思考、探究等栏目，通过设置的大量问题启发学生独立思考，体现数学知识的形成过程，让学生参与问题解决，提升个人的思维能力和数学学习的品质，以数学知识的发生发展过程为载体，以恰时恰点的问题引导学生的思维活动，努力使学生经历研究一个数学对象的基本过程.发展思维与核心素养.人教A版必修第一册第63页专门设置了数学探究课《用向量法研究三角形的性质》，用三个课时的时间让学生充分参与整个探究活动的过程，并写出研究报告. 2021年浙江省数学高考卷第17题向量试题可以看成是向量法研究三角形性质的深度拓展研究.
问题链的设计体现了从二维到三维，从简单到复杂，问题设置也采用了逐步深化的策略.学生处理综合性的数学问题总是以处于简单问题为基础的.换言之，如果学生不具备处理简单问题的思维能力，也无法处理由这些简单问题综合而成的复杂问题。因此，数学思维进阶的学习需要为学生提供从简单问题逐渐转向综合问题的学习活动. 4.2.2问题解决：给足时间和空间，培养学生的发散思维和创新思维品质 模式化的题海战术不利于学生思维品质特别是发散思维和创新思维品质的培养，课堂教学要给足学生的思维体验过程和思考的时间：怎样解读问题？怎么发现问题求解的对策？如何进行思维的化归和类比迁移？走马观花解十题不如解透一道题. 4.2.3思维培养：问题整合——由浅入深的问题设计 如何让学生在经历从简单到综合的过程中，深化综合思维？大部分教师的做法是：课堂教学的例题确实遵循由浅入深的原则，但各个例题之间是孤立的，改进的策略是一题多变或几个简单问题进行多元重组，多一些动态生成的编题.学生在经历问题解决的过程中提升发散思维和创新思维品质. |
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