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从《数学译林》杂志在1980年创刊到现在，已经过去整整40年了。在前30年的《数学译林》上，有不少介绍20世纪现代数学各分支学科发展历史的好文章。其中有一篇介绍微分几何学发展历史的文章给笔者留下了很深的印象，它是发表在1990年第2期《数学译林》上的“几何学在美国的复兴：1938-1988”。这篇文章的作者是以研究极小曲面理论而出名的美国几何学家Robert Ossermann，曾经编过《陈省身文选》一书的张洪光老师将该文翻译成了中文。 图1：原载于美国数学会在1988年出版的《A Century of Mathematics in America》第一卷文章“几何学在美国的复兴：1938-1988”的首页 这篇文章的内容非常丰富，它实际上是以一个美国数学家的视角，简要回顾了20世纪中整体微分几何学的发展历程。该文章大致可以分成五个部分，第一部分简单回顾了在20世纪的前40年中，经典微分几何学的研究逐渐趋于停顿时的状况，第二部分介绍了在20世纪的40年代至50年代，现代的整体微分几何学是怎样慢慢兴起的，第三部分简要介绍了数学大师陈省身先生对推动现代微分几何的发展所起的关键作用，第四部分专门介绍了现代微分几何教科书的编写对促进整体微分几何的发展所起的积极作用，第五部分则简要介绍了在60年代至80年代现代微分几何学大发展时期所取得的一些主要成就。下面就分这五个部分对文章的主要内容作一个比较通俗的解读。 一、在20世纪的前期经典微分几何学的状况我们在大学的微分几何课程里学习的主要内容是经典的微分几何，即从局部的小范围角度来研究3维欧氏空间中的光滑曲线和光滑曲面。为了刻画曲线和曲面的形状，以欧拉为代表的一批数学家们以多元微积分为主要手段，引入了曲率的基本概念，用来描写曲线和曲面的弯曲程度，其中就有曲线的曲率、曲面的法曲率、高斯曲率和测地曲率等各种曲率。 在19世纪初，高斯证明了“高斯曲率仅与曲面的内在度量有关，而与曲面所在的外部空间无关”这一十分重要的内蕴几何定理，这个定理在微分几何课程里特地被称为“绝妙的定理”，这充分显示了这个定理的极端重要性。绝妙的定理为后来的黎曼创立高维的黎曼几何奠定了坚实的理论基础。 黎曼在他的著名的1854年的就职演讲中，提出了高维的黎曼流形的惊人思想，这种高维的流形完全独立于外在的几何空间而存在，并且局部又类似于欧氏空间（这就像光滑的曲面在局部很小邻域内的形状类似于切平面一样）。在这种非常抽象的微分流形上，可以设置任意的度量，用以计算其中的曲线长度、各种维数的几何体的“体积”以及和直线相似的测地线，并且还有类似于高斯曲率那样用来刻画流形的弯曲形状的黎曼曲率张量。人们称这种设置了黎曼度量的微分流形为“黎曼流形”。 图2：伟大的数学家黎曼 在19世纪的后期，以Christoffel和Ricci为代表的一些数学家为了深入解读黎曼深刻的几何思想，提出了一套比较复杂的张量分析方法，其中就有张量的协变导数的基本概念，它是微积分中偏导数概念的自然推广。所谓“张量”，实际上是指满足某种变换规律的一组函数，例如高斯曲率就是一种最简单的张量，张量这种函数在物理学中特别有用。 然而到了20世纪的初期，包括了早期的黎曼几何在内的经典微分几何学逐渐进入了一个发展的瓶颈期，这主要是因为局部坐标下大量繁琐的张量指标运算往往阻碍了数学家们进一步研究流形的几何与拓扑性质。 例如在一个维的黎曼流形上，张量的协变导数（这个概念里面实际上蕴涵了最经典的“联络”概念）就由每个局部坐标系中的个被称为Christoffel记号的函数来唯一确定，它们在两个相邻局部坐标系与 之间的变换必须满足以下的规律： 此外再加上在20世纪的初期，对于现代微分几何学来说是十分重要的拓扑学的方法还未成熟，所以就很难再将局部黎曼几何的研究进一步向前推进到整体黎曼几何的境地。在这种状况下，研究微分几何的人数自然也变得越来越少了。 “几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章的作者Ossermann上世纪50年代初在美国的哈佛大学数学系读博士，他说从20世纪的30年代末到50年代末的这20年里，哈佛大学基本上没有微分几何方向的博士论文，他住校的5年期间，只有复分析专家Ahlfors曾经开过一次微分几何课，Ahlfors开此课主要是为了将微分几何的方法运用到他的复分析研究中（即推广Schwarz引理），而不是为微分几何领域添砖加瓦。不仅如此，同一时期美国的其他主要大学（如普林斯顿、芝加哥和麻省理工）的数学系，也只有分散在各地的少数几个人在研究微分几何。就算是在微分几何方面做得比较好的普林斯顿大学，其中的Eisenhart教授也只是写了两本比较有名的经典微分几何教材，而另一位比较著名的Veblen教授仅仅是在20年代中的一个时期曾经研究过微分几何，以后就不怎么研究了。文章作者Ossermann所讲述的这段个人经历充分说明了当时的经典微分几何学确实是在走下坡路。 图3：Veblen和外尔，图片来自《陈省身文选》（科学出版社） Ossermann在文章中还特地引用了美国著名数学家Birkhoff在描述1938年的美国数学界状况时说的话： “ 文章作者进一步说道： “ 二、现代微分几何学的兴起从20世纪初开始，庞加莱发现了流形的拓扑不变量：同调群和同伦群，从而开创了代数拓扑学这门对于现代微分几何学来说十分重要的分支学科。与此同时，著名数学家E.嘉当对一种被称为“李群”的特殊微分流形以及它上面的微分形式（又称为“外微分形式”）的理论进行了深入的研究。在1913年，外尔建立了关于黎曼曲面的系统理论，黎曼曲面是黎曼在研究复变函数的时候创造出来的一个十分重要的几何概念，然而在长达半个多世纪的时期内，黎曼曲面的定义一直是不清晰的。现在我们已经知道黎曼曲面实际上是一个1维的复微分流形，外尔在他的书中第一次明确地给出了黎曼曲面的严格定义，由此人们就可以很快地写出微分流形的严格定义：微分流形是局部同胚于欧氏空间的独立的拓扑空间，并且不同坐标邻域之间的转换映射无限可微（与我们想象中不同，在历史上是先有复微分流形的定义，然后才有实微分流形的定义），微分流形的存在与所在的外部空间完全无关。有了以上这些数学家们的努力，才使得微分流形的系统理论慢慢地建立起来，从而开始为整体微分几何学奠定了真正的理论基础。 图4：伟大的几何学家E.嘉当，图片来自《20世纪数学经纬》（华东师范大学出版社） E.嘉当还引入了对于现代数学来说是很重要的微分形式概念： 即次微分形式。在这里，如果考虑的是2维微分流形，并且 ，那么此时这个求和的式子就只有一项 而这个式子实际上是来源于我们所熟悉的二重积分中的被积分的式子。对于微分形式，有一种很重要的求“外微分”的运算，它能够将一个微分形式 变成一个高1次的微分形式 ，外微分运算是多元微积分中求一个函数 的全微分运算的自然推广。这样，上述式子中的便是定义在流形上的函数 在外微分以后所得到的1次微分形式（函数看成0次微分形式）。另外，微分形式中的记号 是在微分形式之间所进行的一种特殊乘法运算的记号，这种乘法被称为“外积”。在现代微分几何学中，外微分运算是一种极其高效的运算工具，例如在经典微分几何中，由张量指标运算而得的著名的比安基（Bianchi）恒等式是一个非常复杂的恒等式，然而它用微分形式来表示就非常简洁：其中的是曲率矩阵，是联络矩阵（这里的外微分和外积运算扩展到了矩阵场合）。 E.嘉当在研究李群的整体拓扑性质的时候，发现从李群的微分形式中可以直接得到流形的几何与拓扑不变量，从而找到了分析与拓扑之间的深刻联系。例如，微分流形的上同调群（也是线性空间）的维数是一个拓扑不变量，它等于上线性无关的微分形式上同调类的个数（ 上全体线性无关的微分形式上同调类构成了一个群，称为“德拉姆（de Rham）上同调群”）。这样，就可以通过对流形上的微分形式进行某种类型的运算和操作，来产生我们所需要的几何与拓扑不变量。 同样是在20世纪早期，Levi-Civita为了弄清楚黎曼所发现的复杂的黎曼曲率张量的真正几何含义，而提出了黎曼流形中切向量的“平行移动”的简单概念。外尔则进一步将它发展成为“仿射联络”这一现代微分几何中最基本的概念。所谓“联络”，简单地说就是对于微分流形上众多的切空间进行某种“求导（数）”运算的法则。 E.嘉当也对联络的理论有着十分重要的贡献。他的著名的“活动标架”方法其实就是“向量丛上的联络”概念的雏形，这个重要概念可以用来刻画微分流形的弯曲程度。在一个微分流形上的每一点，都可以有一个线性空间（不一定是切空间），它们的全体组成了该流形的“向量丛”，其实向量丛本身又可以构成一个新的微分流形。对于向量丛来说，也有相应的联络理论。不仅如此，E.嘉当还运用了微分形式来表示他的向量丛上的联络理论，这充分显示了微分形式是一种不可缺少的数学工具。后来的数学家们又从向量丛的联络理论中又抽象出了更一般的“纤维丛”联络理论。 在《数学译林》杂志上刊登的这篇“几何学在美国的复兴：1938-1988”文章中，现代微分几何的整体理论（global theory）被翻译成了“大范围理论”。这篇文章介绍说，在20世纪的40年代前后，整体微分几何研究的一位积极倡导者是瑞士数学家Hopf，他曾经在1946年和1956年两次到美国讲学，这两次讲学的讲义《整体微分几何》主要讲授光滑曲面的整体微分几何的理论。由于这本流传很广的非正式讲义为许多人提供了对于整体微分几何最初步的导引，所以它在1983年就作为Springer出版社著名的“Lecture Notes in Math.（数学讲义）”丛书的第1000卷而正式出版，并且在1987年由吴大任先生翻译成了中文，作为科学出版社的“现代数学译丛”中的一本出版。 图5：由科学出版社出版的Hopf的《整体微分几何》中文版 虽然在Ossermann的这篇文章中，没有详细地给出现代整体微分几何学怎样缓慢兴起的发展过程，却也简要总结和罗列了在20世纪的中期，主要是在美国的数学界所取得的关于整体微分几何研究的最初步的成就： “ 这里所提到的“消没定理”（也称为“消灭定理”），主要是指高维流形上的某些德拉姆上同调群为零的相关定理。由这些德拉姆上同调群为零的结论，可以很容易地推算出其他有关的德拉姆上同调群的维数，从而就能确定所要找的拓扑不变量。上面还提到Rauch的比较定理，它的基本含义是：如果要想了解一个黎曼流形的整体几何形状，那么通过比较它与最简单的常曲率的黎曼流形的曲率就可以了。此外，Berger和Klingenberg的球面定理的断言是：如果完备的单连通维黎曼流形 的截面曲率 满足 ，那么与维欧氏球面同胚。这些定理充分显示了流形的拓扑性质与流形的分析、度量性质之间的密切联系。 在上面这段话中，还讲到了E.嘉当关于李群及其商群（齐性空间与对称空间）的工作。齐性空间与对称空间都是一些性质很好的黎曼流形。文章的作者还提到了由美国数学家莫尔斯（Marston Morse）在20年代创造的莫尔斯理论，该理论建立了流形上函数的极值点（或“临界点”）的性质与流形的拓扑性质之间的联系。数学家米尔诺（Milnor）写过一本很有名的书《莫尔斯理论》，它曾经被科学出版社翻译成中文出版。 文章作者Ossermann在这段话里，特别地讲了这样一句话： “ 数学大师陈省身先生在20世纪的40年代，一举证明了高维黎曼流形的高斯-博内（Gauss-Bonnet）定理，并且从这个杰出的证明过程中发展出了一整套关于纤维丛示性类的重要理论（其中就包含了著名的“陈（示性）类”的理论）。从今天的角度看，高维的高斯-博内定理的证明以及纤维丛的陈类理论确实是20世纪微分几何学发展历史上的一个顶峰，我们将在文章的后半部分再对此加以介绍。 （由于笔者手边只有“几何学在美国的复兴：1938-1988”这篇文章的复印件，所以下面所附的文章全文照片有些模糊，敬请读者谅解。这里先给出该篇文章的前半部分。） 图6：文章（一） 图7：文章（二） 图8：文章（三） 文稿|陈跃 编辑|朱善军 |
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