【原】7.3：连续函数的可积性

3. 设是正常数，应用积分中值定理确定下列积分的正负：

解：

(1)

(3)

(4)

(5)

5 .设在(a,b)上连续，证明：对任意成立：

解：

6.设在上可微且导函数在上可积，证明：

解：

7.设在上连续，证明：

解：

注意倒数第四行倒数第三行间用到了积分中值定理

8.设在[a,b]上可微且导函数连续，证明：

解：

由设在[a,b]上可微且导函数连续，可得：

注： 取

这由积分中值定理是容易得到的

9.设在[a,b]上可微且导函数在[a,b]上可积。又设n为自然数，而是一组满足条件

的实数，证明：


解：

将积分分为n份，在每一份上使用积分中值定理

得：

又因为：

所以：

由定积分定义得：

10.设在[a,b]上可积,令：

证明以下结论：


(1):在[a,b]上利普希兹连续，即存在常熟使成立

(2):对任意使存在右极限的点在点有右导数，且; 对任意对任意使存在左极限的点在点有左导数，且

解：

(1):

(2):

左极限同理

11.求下列函数的导数：

(1):


(2)太难打了，略

12.求下列极限

解： (1):

(2):

(3):

这部分题目太多了，还都是分数，有点难打，花的时间有点长

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