【原】13.2：傅里叶函数的收敛条件

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13.2傅里叶级数的收敛条件

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1. 设是周期函数，在上等于

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：

(4)证明：

解：(1):注意到函数是偶函数，所以有：

(3):取即得答案

(4):取即得答案

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2 设是周期函数，在上等于

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：

(4)证明：

解：(1):注意到函数是偶函数，所以有：

(3):令即得答案

(4):令即得答案

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3. 设是周期函数，在上等于

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：

解：

注意到函数是奇函数 (1):

(3):只需让即可

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4. 设是周期函数，在上等于，其中a是非整数的正常数

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：,其中a是非整数的正常数

(4)证明：

解：注意到函数是个偶函数

(1):

(3):稍微化简即得答案

(4):在上式中令即得答案

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5. 
   

设是周期函数，在上等于，其中a是非整数的正常数

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：,其中a是非整数的正常数

(4)证明：

解：

注意到函数是个奇函数所以有：(1):

(3):对上式进行简单化简即得答案

(4):在上式中令即得答案

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6. 设是周期函数，在上等于，其中a是常数

(1)求的傅里叶级数

(2)问的傅里叶级数在哪些点收敛？它的和函数是什么？

(3)证明：,其中a是非整数的正常数

(4)证明：

证明：

(1):偶函数

对上式进行简单化简即得答案，令即得答案

7. 
   

证明：

(1)

(2)

(3)

第1，2问可以直接用习题13.1的结论，第3题直接在第一问的基础上让即可

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8. 设是连续的周期函数，它的傅里叶级数在点处收敛。证明：的傅里叶级数在点的和等于

由傅里叶级数收敛可知,由函数连续性极限的唯一性可知

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9.设是周期函数，在上黎曼可积。又设

(1)证明：也是周期函数，在上（因而也在整个上）利普希茨连续

(2)求的傅里叶级数

(3)证明：级数收敛，且对任意实数成立逐项积分

这个习题说明，尽管函数的傅里叶级数不一定逐点收敛于，即等于不一定逐点成立，但在一定条件下(如是分段连续)，却可对此等式进行逐项积分。\

zhengming: (1):

所以利普希茨连续，周期函数易证

(2):

因为函数利普希茨连续自然傅里叶级数是收敛于的\所以, 所以

后面的就显然了\

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10. 
    

证明黎曼引理的下述推广：设在上可积，是以为周期的周期函数，且在上可积，则有

还是自己看裴礼文，小周打不动了！315

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