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例题：（初中数学综合题）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，延长AC到点D，使得CD=CB，连接BD交⊙O于点E，过点E作BC的平行线交CD于点F． （1）求证：AE=DE． （2）求证：EF为⊙O的切线； （3）若AB=5，BE=3，求弦AC的长． 知识回顾 垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 分析：（1）由图可知，要证明AE=DE，只要证明∠EAD=∠D即可．根据“同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DBC=∠CAE，即可得出∠EAD=∠D. （2）欲证明EF是⊙O的切线，只要证明OE⊥EF即可．由圆周角相等得出弧相等，再根据垂径定理得出垂直，即可解决问题. （3）证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质求出AE，再进一步求出AD，即可解决问题． 请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（以下过程可以部分调整） （1）证明：∵CD=CB， ∴∠DBC=∠D， 又∵∠DBC=∠CAE，（同弧所对的圆周角相等） ∴∠D=∠CAE， ∴AE=DE． （2）证明：连接OE， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB， ∵∠ACB=∠DBC+∠D=2∠DBC=2∠CAE， ∴∠BAC=2∠CAE， ∴∠CAE=∠BAE， ∴点E为弧BEC的中点， ∴OE⊥BC， ∵EF∥BC， ∴OE⊥EF， ∴EF为圆O的切线． （3）解：在△ABE和△DBA中， ∵∠BAE=∠D，∠ABE=∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴AB/EB＝DB/AB＝DA/AE， ∴AB^2=BE×DB， ∵AB=5，BE=3， ∴BD＝25/3， DE＝BD-BE ＝25/3-3 ＝16/3， ∴AE＝DE＝16/3， ∵AB/EB＝DA/AE， ∴DA＝80/9， ∵CD=CB=AB=5， ∴AC＝DA×CD＝35/9． （完毕） 这道题属于综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确找出相似三角形，运用线段比例解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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