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看着挺简单的图形，直觉这里的每一条线都不是任意的，都有特殊性，△ADF的面积应该也是随这个等腰直角三角形的大小唯一确定。如何构建15/4和边DF的关系，就是解题的关键。 作AH⊥DF的延长线，垂足为H 易证RT△AEF≌RT△AHF ∴AH＝AE S△ADF＝1/2×DF×AH ＝1/2×DF×AE ∴求出AE的长度，就能求出DF的长度 延长AD至G，连接CG，使∠DCG＝45° 有AC⊥GC 易证∠CAG＝∠ABF ∵AC＝BA ∴RT△ACG≌RT△BAF ∴∠AFB＝∠CGA，AF＝CG ∵∠AFB＝∠CFD ∴∠CFD＝∠CGD ∵∠FCD＝∠GCD＝45°，DC＝DC ∴△FCD≌△GCD ∴FC＝GC ∴AF＝FC ∴S△ADF＝S△CDF＝S△CDG ∴S△ABF＝S△CAG＝3×S△ADF＝45/4 易证△ABF∽△EBA∽△EAF ∵AB:AF＝2:1 令AE＝a 有BF＝2a＋1/2a＝5/2 a S△ABF＝1/2×AE×BF ＝1/2×a×5/2 a＝5/4 a² ＝45/4 ∴AE＝a＝3 S△ADF＝1/2×DF×AE ＝1/2×DF×3＝15/4 ∴DF＝5/2 在解这题的过程中，发现等腰直角三角形的一些特殊性，故延伸一题，感兴趣的不妨玩一玩： 解：将Rt△ABC绕BC翻转180度得正方形ABGC 易证E为AC中点 DF＝BF／3 作DQ⊥AC，∴AFxDQ＝2x15／4，易证DQ＝AB／3 设AB＝a，∴AF＝a／2、DQ＝a／3 ∴a／2xa／3＝15／4 a＝3√5、AF＝3√5／2 ∴BF＝15／2， ∴DF＝BF／3＝5／2 三角形ABF=CAG Sabf=3*Sadf=45/4=AB*AF/2=AF*AF BF=15/2 DF=DG=AG/3=BF/3=5/2 |
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