中考数学压轴题分析：新定义垂美四边形

本文内容选自2021年枣庄中考数学几何压轴题。本题以对角线互相垂直的四边形为背景（垂美四边形），考查新定义。本质上就是考查直角三角形的勾股定理而已。难度不大。

新定义的题目关键是如何理解该定义，以及如何与已知的知识建立关联。

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【中考真题】

（2021·枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

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【分析】

（1）根据垂直平分线的判定，可以得到AC为BD的垂直平分线，进而得到结论。

（2）遇到平方和，考虑勾股定理，其中AB、BC、CD和AD四条边的平方可以在对应的直角三角形中用OA、OB、OC和OD的平方和来表示。进而得到结论。

（3）本题比较特殊，由于△ABC为直角三角形，已知AC与AB的长可以得到BC的长。那么连接CG与BE之后就可以得到一个垂美四边形，进而可以得到四条边的平方，当然GE的平方出来了，那么GE的长就知道了。

当然，本题也可以直接过点G作AE的垂线，构造直角三角形，利用相似与勾股得到GE的长。

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【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2），
理由如下：
如图1中，

∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）如图3，连接CG、BE，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∵CG4，BE5，
∴，
∴GE．