【原】复变函数第0章：预备知识(3)

复平面上的拓扑

拓扑结构

❝

定义：设 , 定义 与 的距离为 .

❞

接下来我们将讨论复平面上的拓扑结构，在复平面上定义了上边的距离之后，我们很容易得到他和二维平面是同胚的(等距同构)，因此他们的拓扑结构是相同的，因此我们可以将二维平面上的结论平移至复平面上，下边的结论不加证明.

❝

定义:设 为一个复数序列. 如果存在 , 使得 , , 只要 , 就有 , 则称 收敛于 , 记为

❞

同时称序列 为 中的收敛序列, 为序列 的极限.

类似在平面上的，我们也有开集、闭集、开圆盘、闭圆盘等定义，他们均可以平移而来，我们在这里不再叙述.

我们设上边的复数序列,那么就意味着：

即

❝

推论:序列 收敛于 的充分必要条件是

❞

类似在实平面中，我们可以给出等价的完备性定理：

1. 闭集套定理:设 是 中一列非空闭集. 若对于 , 满足 , 并且 , 则存在唯一的一个点 , 使得

2. 开覆盖定理 中任意有界闭集都是紧集.
3. 极限点定理:中任意有界无穷集合必有极限点.
4. 致密性定理:任何有界序列必有收敛子列.

❝

「思考题」：设 . 证明: 复数列 收敛到 的充要条件是 和 .

❞

由于这一块的内容和数学分析中的平面上的拓扑没有什么区别，因此我们不再赘述.遇到具体问题时再说！

曲线和区域

在复变函数的课题中，我们需要广泛接触到曲线和区域这两个概念，因此我们也需要在这里加以叙述，但是由于这里主要是拓扑研究课题，限于我们的工具所限，我们同样对定理加以叙述而不加证明！

❝

定义：设 及 是实变数 的两个实函数, 在闭区间 上连续,则由方程组

或由复数方程

所决定的点集 , 称为 平面上的一条连续曲线. 上式称为 的参数方程, 及 分别称为 的起点和终点; 对满足 的 及 , 当 成立时, 点 称为此曲线 的重点; 凡无重点的连续曲线, 称为「简单 曲线或若尔当曲线;」 的简单曲线称为「简单闭曲线」.又若在 上, 及 存在、连续且不全为零 , 则 称 「为光滑 (闭)曲线.」

❞

「在本课程中我们主要讨论的都是简单闭曲线，在下一章的柯西积分定理中我们也会对有重点的曲线加以叙述.」

❝

定义:设连续弧 的参数方程为

任取实数列 :

并且考虑 弧上对应的点列:

将它们用一折线 连接起来, 的长度

如果对于所有的数列 , 有上界, 则 弧称为可求长的. 上确界 称为 弧的长度.

❞

下边是一个在任何书中都会出现的反例：「简单闭曲线不一定是可求长曲线.」

❝

反例:设简单曲线 的参数方程为

证明这是一个不可求长的曲线.

❞

显然 皆为曲线 上的点, 且 连接 及 两点线段之长

因为 是发散的,所以 也是发散的, 从而知简单曲线 是不可求长的.

❝

[Jordan曲线定理]任一简单闭曲线 将 平面惟一 地分成 及 三个点集, 它们具有如下性质：

1. 彼此不交;
2. I ( ) 是一个有界区域 (称为 的内部);
3. 是一个无界区域 (称 为 的外部);
4. 若简单折线 的一个端点 属于 , 另一个端点属于 , 则 必与. 有交点.

❞

0.3

由于工具的欠缺因此这里我们只能叙述这个定理，我们也不会用这个定理，因此见识一下就行了.

相对于这个更重要的是要知道曲线的方向以及单连通区域的概念.

沿着一条简单闭曲线 有两个相反的方向, 其中一个方向 是: 当观察者顺此方向沿 前进一周时, 的内部一直在 的左 方, 即 “反时针”方向, 称为正方向 ; 另一个方向是 : 当观察者顺此方 向沿 前进一周时, 的外部一直在 的左方, 即“顺时针”方向, 称为负方向 .(见图)

❝

定义:设 为复平面上的区域. 若在 内无论怎样画 简单闭曲线, 其内部仍全含于 , 则称 为单连通区域; 非单连通 的区域称为多连通区域.「从几何图上来看，在图片上就是显示有没有洞，比如就有一个洞，就不是单连通区域.称为双连通区域，多几个洞就是连通区域.」当然这也不是严谨的说法，但是我们也没有办法严格去陈述这一概念，这需要拓扑学的知识.

❞

复变函数

复函数

❝

定义：设 是复平面上一点集, 如果对每一个 , 按照某一规则有一确定的复数 与 之对应, 我们就说在 上确定了一个单值复变函数, 记为 或 称为 的定义域, 点集 称为 的值域. 如果对于 , 对应的 有几 个或无穷多个, 则称在 上确定了一个多值函数.

❞

例如, 都是确 定在整个平面上的单值函数; 而 则是多值函数. 今后若非特别说明, 我们所讲的函数都是指单值函数.

单值函数的定义其实和实变函数中没有区别，但是在复变中十分特殊的就是多值函数，这是我们需要格外关注的.这一部分没有什么值得叙述的，因此我们不再多说了.

复变函数的极限和连续性

我们之前曾多次提及过复平面上的拓扑结构和二维平面的拓扑结构没有区别，因此我们这一部分的内容也只简单叙述.

❝

定义：设 是定义在集合 上的函数, 是 的极限点. 如 果存在 , 使得 , 只要 , 就有 , 则称 是 且 时函数 的极限, 记为

并称 且 时, 收敛.

❞

同数列中的一样将看作实部和虚部，我们就知道有下列结论:

❝

定理:设 是定义在集合 上的函数, 是集合的极限点, 则 的充分必要条件是

❞

❝

定义:设 是定义在集合 上的函数, 并设 . 如果 , 使得只要 , 就有 , 则 称 在 连续. 如果 在 的每一点都连续, 则称 为集合 上的连续函数.\ls{我们规定在孤立点是连续的.}

❞

当然连续也等价于*「实部和虚部都是连续的.」

连续函数的性质

❝

定理：设 是 中的紧集, 在 上连续,那么

❞

1. 在 上有界;
2. 在 上能取得最大值和最小值, 即存在 , 使得对每个 , 都有

3. 在 上一致连续.所谓 在 上一致连续, 是指对任意 , 存在只与 有关的 , 对 上任意 的 , 只要 , 就有 .

扩充复平面

扩充复平面

我们知道不是一个紧集，它的任何一个有界闭子集是紧集，但是当我们引入一个无穷远点，那么定义合适的拓扑结构就可以在保留原本拓扑结构的情况下使是一个紧集.

现在我们引入一个新的点,并且规定,至于和我们不作规定(可想而知，是因为无法合理定义.)我们定义或者,称之为扩充复平面。我们定义上边的拓扑结构为：

任给 , 如果 , 则我们称

为 在 中的 -邻域; 如果 , 则令

称为 在 中的 -邻域.

「明显的：若序列在上收敛到,那么在扩充复平面上也收敛到,不同的是，在扩充复平面上还可能有收敛到无穷点处的情况.」

扩充复平面的球面表示法

我们在前言中提及到，这个扩充复平面是紧致的，下边我们建立其他和中的球面是拓扑同构的，就可以说明它是紧致的.

我们记

把 等同于平面:

固定 的北极 , 即 , 对于 上的任意点 , 联结 和 的直线必和 交于一点 . 若 , 则 在北半球上; 若 , 则 在南半球上; 若 , 则 就是 . 容易看出, 当 趋向 时, 球面上对应的点 趋向于北极 , 自 然地, 我们就把 中的 对应于北极 . 这样一来, 中的所有点 (包括无穷远点 在内 ) 都被移植到球面上去了, 而在球面上, 和其他的点是一视同仁的.

0.4

更精确的我们可以给出这种一一对应的关系：现在给出这种对应的具体表达式. 设 , 容易算出 和球面 的交点的 坐标为

直接用复数 , 可表示为

这样, 从 便可算出它在球面上对应点的坐标. 反过来, 从球面上的点 也可 算出它在平面上的对应点 . 事实上, 从上面的表达式得

由此即得

这就是所需的计算公式.

「暂时我们还看不出这里边有什么名堂，给出了这样的球面表示法之后，也没有什么用，稍等片刻我们会在复变函数的微分结构中，给出相应的说明！」

预备知识到此结束，这里我们仅仅叙述最简单的需要用到的复数知识，尤其是在复平面的拓扑这一块，我们选择近乎跳过，这是因为我们数学分析已经学过一模一样的东西了！