中考数学压轴题分析:圆中几何求值问题

本文内容选自2021年自贡中考数学几何压轴题。本题以圆为背景，考查几何求值问题。根据圆的知识、相似、勾股等进行求解即可。

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【中考真题】

（2021·自贡）如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．

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【分析】

（1）遇切线有交点则连圆心。易得OD与AE平行，那么可以得到一个“平行线+等腰+角的平分线”模型，利用角度等量关系求解即可。

（2）连接BF，可以得到BF与CE平行，那么就可以得到∠ADF=∠ABF=∠C，进而得到两个三角形相似，得出结论。

（3）连接OD，过点D作DH⊥AC。根据sin∠C，可以得到各个边的比例关系，再根据AD的长求出各边长，再根据垂径定理、或相似等求出EF的长。

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【答案】（1）证明：如图，连接．
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，连接．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（3）解：过点作于．
是的切线，
，
，
可以假设，，则，，
，
，
，
，
，

或（舍弃），
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．