第11讲直角三角形斜边上的中线
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【基本图形】已知△ABD和△ABC中，∠ADB=∠ACB=900。
【基本结论】图1中，若OA=OB，则OA=OB=OD；若OA=OD，则OB=OD；若OB=OD，则OA=OD；
图2中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB；
图3中，若OA=OB，则OA=OD=OC=OB。
【板块一】构造直角三角形斜边上的中线
题型一、遇直角三角形斜边中点，连斜边上中线
【例1】如图，?ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，ACAB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，求AE的长。
【例2】如图，在Rt△AEB和Rt△AFB中，∠AEB=∠AEB=900，O为AB的中点，连接EF，OE。
（1）如图1，已知∠EAF=，求∠OEF的大小；
（2）如图2，已知∠EAF=，求∠OEF的大小。
题型二、遇直角三角形，取斜边中点，连中线
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=∠ABE，求证：DE=2AB。
【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DEAB交BC于点E，求证：CD=BE。
题型三、遇两个共斜边的直角三角形，取斜边中点，分别连两中线
【例5】如图，在△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=900，O为BC的中点，BD，CE交于点A，∠BAC=1200，求证：DE=OE。
【例6】如图，在△ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，M，N分别是BC，DE的中点。
（1）求证：MNDE；
（2）若∠A=600，求的值。
题型四、遇等腰三角形底边中点，构造直角三角形
【例7】如图，∠ACB=1200，以AC，BC为边向外作等边△ACF和等边△BCE，点P，M，N分别为AB，CF，CE的中点。
（1）求证：PM=PN；
（2）求证：∠MPN=600。
针对练习1
1、如图，矩形ABCD中，E为CB的延长线上一点，CE=CA，F是AE的中点，求证：BFFD。
如图，△CDE中，∠CDE=1350，CBDE于点B，EACD于点A，求证：CE=AB。
如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=900，点E，F分别在AB，AC上，且AE=EF，点O，M分别为AF，CE的中点。
（1）求证：OM=CE；
（2）求证：OB=OM。
已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为直线BC上一点。
（1）如图1，当E在线段BC上，且DE=AD时，求BE的长；
（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD=BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM，CM，求证：AMCM。
【板块二】直角三角形斜边上的中线、倍长中线、中位线综合应用
题型五、构造直角三角形斜边上的中线与倍长中线相结合
【例1】已知，点P是Rt△ABC中斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点。
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是_____________，QE与QF的数量关系是_____________；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明。
题型六、同时构造中位线与斜边上的中线
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC=900，延长BA到点D，使AD=AB，点E是AC的中点，求证：BC=2DE。
【例3】如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE。（请用多种方法解答本题）
【例4】如图，AE是?ABCD的高，线段CD的垂直平分线交AE于点F，G是AB的中点，连接CG，FG，求证：CGFG。
针对练习2
1、如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CDAB于点D，且E，F分别为AB，BC的中点，求证：DE=DF。
2、如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CDAB于点D，E为AB的中点，求证：DE=BC。
3、如图，在△ABC中，∠ABC=600，BC=8，点D是BC的中点，点E是AC上一点，过点D作ED的垂线交AC于点F，若AC=7CF，且DE恰好平分△ABC的周长，求△ABC的面积。
4、如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE于点G。
（1）求证：G是CE的中点；
（2）求证：∠B=2∠BCE。
5、如图，∠BAC=∠BDC=900，四边形ABDE为平行四边形，若AD=6，BC=8，求CE的长。
6、如图1，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=900，点E在AC上，EFAC交AB于点F，连接BE，CF，M，N分别为CF，BE的中点。
（1）求的值；
（2）如图2，将△AEF绕A点顺时针旋转450，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）如图3，将△AEF绕A点顺时针旋转一个锐角，上述结论是否仍然成立？证明你的结论。
7、在△CAB，△DEB中，CA=CB，DE=DB，∠ACB=∠EDB=900，连接AE。
（1）若BD在△ABC内，如图1，取AE的中点M，连接CM，DM，则CM，DM的关系为________________；
（2）若将△DEB绕点B旋转（旋转如图2），则（1）的结论是否变化，若不变化请给出证明，若变化，请说明理由。
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