【原】2021土耳其数学奥林匹克 第二轮 中文翻译

第一天

考试时间：2022年1月5日

1.桌上有两个盒子. 初始时, 其中一个盒子为空的, 另一个盒子中有个颜色互异的小球. 下面对这两个盒子轮流进行如下操作:
从满的盒子开始, 在当前盒子中选择一组若干个小球, 将其移动到另一个盒子中.
随后进入下一步,对另一个盒子进行操作. 如果每次所选择的小球组都不相同, 那么至多可以进行多少次操作?

2.若一个次数为的实系数多项式有至少个系数为, 且恰有个实根(不必互异), 求的最大值.

3.中,圆 与边切于点, 与边切于点. 为上一点, 直线分别与 再次交于点. 直线分别与 再次交于点. 求证: 三线共点.

第二天

考试时间：2022年1月6日

4.锐角中, 角平分线分别与对边交于点. 过作于, 于,  过作于, 于. 若交于点, 交于点, 交于点, 求证:.

5.正整数满足, 的素因数个数为有限个. 求证: .

6.某校有位同学, 其中每个同学有个朋友. 已知, 不存在三位同学, 使得他们两两之间互为朋友关系. 求的最大值.