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假定在一个圆的内接四边形中，其中一条对角线与外接圆的直径重合。 证明对边在另一条对角线上的投影相等。  证法1： 如图，做垂线的延长线，分别交于圆的另一端G和H，  因为GC和AH同时垂直于BD，所以GC和AH是平行的， 由于AC是直径，则∠G=∠H=90° 另外因为GC平行于AH，内错角相等，∠GCH=∠HAC 因此三角形GCA全等于三角形HAC， 因此GC=AH 对于等弦线来说，其对应的高线也相等，这是有对称决定的。 因而DE=BF。 如下图可帮助证明  OP=OQ，， 即ME=MF，而MD=MB， 所以DE=BF 证法2： 如图，过圆心O做DB的垂线， 垂足为P，  PF和PE分别是OA和OC在DB上的投影，由于OA=OC，所以投影相等，即PE=PF。 这一点可以通过证明三角形PCO全等于三角形QAO得到证明， 所以有OP=OQ， 但OP=PE, OQ=PF, 所以PE=PF，根据垂足平分弦线，有PD=PB， 所以DE=PD-PE BF=PB-PF 故 DE=BF |
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