排列组合中的围坐圆桌问题

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排列组合中的围坐圆桌问题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

摘 要：本文探究排列组合中围坐圆桌问题的求解思路.

关键词：排列组合；围坐圆桌；解法辨析；思路探究

排列和组合一直是高中数学的一个重要内容，一直是高中数学教与学的一个难点，一直是高考的一个热点.在排列组合问题中，有一类围坐圆桌问题，许多学生感到很难求解、很难理解求解思路、很难看懂解答过程.究其原因，笔者认为关键是教者没有讲深、讲透、讲清楚、讲明白排列的定义，学者没有理解深、理解透排列的定义.下面试举几例，权作抛砖引玉之用，旨在希望能帮助读者突破学习难关.

一、围坐圆桌不限制问题

例1 10名同学围成一个圆圈唱歌，有多少种不同的围站方法？

解析 当10个人围成一圈时，每个人都以顺时针(或逆时针)方向转动一个位置得到的排列与原排列只能算一种排列；于是再依同方向连续转2，3，4，…，9个位置得到的排列与原排列也只能算一种排列，因此10个人围成一圈的一种排列在普通的排列(也称直线排列)中就是10种，所求的排列数是10个人排成直线排列的十分之一.

于是，所求排列数为：！=362880种.

评注 其实，本题可以这样来理解，如果把本题中的排列叫“圆排列”，通常的排列叫“直线排列”，则圆排列没有首末之分；而直线排列首末是有显著区别的：当n个人围成一圈时，每个人都以同一方向依次转动1，2，3，…，n-1个位置得到的排列与原排列算一种排列，而每转动一个位置，若在同一地点将圆排列“剪断”，然后拉成直线，则首末两端的人变了，所以每次的转动在直线排列中是不同的排法，于是一个圆排列在直线排列中变成n种了，因此圆排列数应是相应元素直线排列数的即为 ！.

此题的解析和评注，笔者认为说得很清楚了，但是，仍然有许多学生看不懂、不理解.下面我们再来看一个例子.

例2 若一张圆桌有3个座位，现安排3个学生去坐，每人坐一个座位，有几种不同的入座方法？

解析 我们先看排列的定义，一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

下面我们先用列举法解答此题.用A，B，C表示这3个人，用圆圈表示3个座位，如图1中的图(1)至图(6)，我们从顺时针方向来看(从逆时针方向来看也可以)，图(1)、图(2)、图(3)入座的顺序都没有变，都是ABC，所以由排列的定义知，图(1)、图(2)、图(3)是同一种排列，也就是同一种入座方法.同理，图(4)、图(5)、图(6)是同一种入座方法.于是所求有2种不同的入座方法.

由此列举法，我们可知，在中重复了所求的3倍，所求用数学符号可表示为

评注 n(n≥2)个人围着一张圆桌就坐，有种不同的入座方法.

二、围坐圆桌相邻问题

解决围坐圆桌相邻问题，有两个关键点，第一个关键点是要理解，n(n≥2)个人围着一张圆桌就坐，有种不同的入座方法；第二个关键点是要理解上述例2的解答思路和捆绑法在围坐圆桌相邻问题中的运用.

例3 A，B，C，D四人围着一张圆桌就坐，如果A，B二人相邻，有多少种不同的入座方法？

解析 用圆圈表示4个座位，如图2中的图(1)、图(2)、图(3)、图(4)，我们从顺时针方向来看(从逆时针方向来看也可以)，不同的入座方法有ABCD、ABDC、BACD、BADC这4种，用数学符号表示为

评注 在这里利用了捆绑法，先把A，B二人捆绑在一起，看成一个人与另外二人C，D安排入座，有种不同入座方法，然后再考虑A，B二人内部交换位置，有种情况，于是所求用数学符号表示为

三、围坐圆桌不相邻问题

解决围坐圆桌不相邻问题，有两个关键点，第一个关键点仍然是要理解，n(n≥2)个人围着一张圆桌就坐，有种不同的入座方法；第二个关键点是插空法在围坐圆桌不相邻问题中的运用.

例4 (2018年北京大学博雅计划自主招生考试题)15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是( ).

 前三个答案都不对

解析 15个人围坐在圆桌旁共有种不同的围坐方法.从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先把11个人入坐好，再让其余4人插空，共有种不同的围坐方法.所以所求概率是故选A.

例5 一圆形餐桌依次有A，B，C，D，E，F共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为( ).

A. 12 B. 36 C. 72 D. 144

解析 注意到这里的座位不同，应分两类入座.

(1)3个大人坐A，C，E座位，有种，然后3个小孩入座B，D，F，有种.由分步计算原理，有种方法.

(2)3个大人坐B，D，F座位，然后3个小孩入座A，C，E，同样的有种方法.

综上，由分类分步原理，所求为(种)，故选C.

四、珠子穿成手镯问题

解决不同颜色的珠子穿成手镯问题，有两个关键点，第一个关键点仍然是要理解，n(n≥2)个人围着一张圆桌就坐，有种不同的入座方法；第二个关键点是要想到“珠子圈”可以翻转.

例6 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？

解析 这是6个人围坐圆桌问题，同时还要考虑“钻石圈”可以翻转.

围坐圆桌问题就是在的基础上，本来在这里ABCDEFG和BCDEFGA是不同的，但是围坐圆桌这里因为形成了一个圆圈，所以ABCDEFG和BCDEFGA是相同的，同样CDEFGAB等和他们也是相同的.可见，一个相同的围坐圆桌排列，在原有的中是被重复计算了6次，于是围坐圆桌的结果是

又因为钻石圈是可以翻转的，也就是在这里ABCDEF和FEDCBA是一样的(想象一下手镯，先平放着，再翻转一下，还是原来的手镯.)，于是在围坐圆桌排列的基础上要除以2，得到(种)，这就是所求答案.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书(选修)数学2-3(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]王亚丽.排列组合题的四类常见错误分析[J].高中数学教与学(扬州大学版)，2013(8)：6-7.

作者简介：武增明(1965.5-)，男，云南省玉溪人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

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