研题 说题 促年轻教师专业成长

笔者有幸参加了2020年浙江省湖州市的说题比赛，作为参赛的年轻教师切身体会到了青年教师说题的价值和意义.本文以这次赛题为例，通过对比各位参赛老师的说题过程，总结了说题的每个环节应该注意的地方，整理反思，让自己在比赛中得到锻炼和成长.

题目 已知椭圆是右焦点，P是椭圆C外一点，过点P作椭圆C的切线，切点是Q，若PF2⊥QF2时，求点P的轨迹方程，并求OP的最小值.

问题1 解法突破太单一

教师说题时最基本的要求是将题目解出并给出多种解答，由于本题难度并不大，大部分参赛老师给出的解答过于单一.笔者以三个角度出发，给出了三种解答，现呈现如下.

解析1：如图1，设Q(x0,y0)，P(x1,y1)，则切线由于PF2⊥QF2，则若y0=0，则Q为椭圆的右顶点，此时QF2⊥QP，不合题意)，此时联立切线l和直线解得即P点的轨迹为直线x=4，而且|OP|min=4，当P(4,0)时取到.

图1

解析2：设则切线由于PF2⊥QF2，则若sinθ=0，则Q为椭圆的右顶点，此时QF2⊥QP，不合题意).此时联立切线l和直线lPF2：则解得即P点的轨迹为直线x=4.而且|OP|min=4，当P(4,0)时取到.

解析3：设Q(x0,y0)，P(x1,y1)，则切线由于P在直线l上，则因为结合消去y1y0可得即(x1-4)(x0-4)=0，由于-2≤x0≤2，则x1=4为定值，即P点的轨迹为直线x=4.从而|OP|min=4，当P(4,0)时取到.

评注：说解法是说题的最基本也是最核心环节，如果解法突破太单一，教师解题能力将不是加分项，所以一般都会给出多种解答.但由于说题比赛的时间限制，说解法时可以强调解题思路，突出解法的核心步骤，而且核心步骤的给出是决定说题过程成功与否的关键.

问题2 背景挖掘不深刻

说题目背景，我们不能只是停留在题目的表面，而应该更深刻地挖掘题目的背景甚至猜想命题者的命制过程和意图.笔者听完了其他参赛老师的说背景环节，部分老师对本题的背景挖掘如下.

如图2，延长QF2交椭圆于点T，过点T作椭圆的切线TG交PF2所在的直线于点G.设T(x2,y2)，G(x3,y3)，则由前面的做法可知x3=4，即P、G交于同一点，P是准线x=4的动点.

图2

此时，结论可以统一为：已知椭圆为过C1右焦点F2的焦点弦，分别过Q、T作切线l1,l2，则切线l1,l2的交点P落在定直线上，且PF2⊥QT.

解析：设P(x0,y0)，则由于lQT过右焦点F2(c,0)，则即落在定直线即椭圆的准线上.另一方面所以kQT·kPF2=-1，即有PF2⊥QT成立.

参赛的老师当中，也有将本题的背景极点极线介绍出来的.笔者说题时也用了两分钟的时间简单介绍了极点极线的基本理论及本题与该理论相关的结论.笔者对于该题的背景部分的展示如下.

极点极线理论：已知椭圆点P(x0,y0)，点P对应的极线为

(1)如图3，当P(x0,y0)为椭圆上的点时，极线为过P(x0,y0)的椭圆上的切线.

图3

(2)如图4，当P(x0,y0)为椭圆外的点时，过P(x0,y0)作椭圆的两条切线PA,PB，两切点的连线AB即极线

图4

(3)如图5，当P(x0,y0)为椭圆内一点时，过P作两条弦AB、CD，分别过A,B和C,D作椭圆的切线，交于G、H，则GH所在的直线即为极线

图5

更一般地，如图6，过P(x0,y0)作椭圆的两条割线AB,CD，则极线必定是AC,BD的交点Q与直线AD,BC的交点R的连线QR，即QR所在的直线方程为记QR与AB,CD的连线的交点为M,N，则M,N满足与P,D,N,C为调和点列.特别地，如图7，当AD∥BC时，点P(x0,y0)对应的极线过AC,BD所在直线l的交点Q，且l∥AD.

图6

图7

实际上，P,Q,R构成自极三角形.针对本题，极点F2(c,0)，极线即为椭圆的准线且当极点为P时，极线为直线QT.

评注：题目的背景是解题者思路灵感的基础，能准确把握题目的背景，才能准确突出题目的重点.本题的背景是极点极线理论，若教师能准确说出题目的内涵或来源，则能充分体现出该教师深厚的功底.

问题3 变式延伸不充分

笔者在挖掘出题目的背景后，将此题在其背景下作进一步的延伸，即将本题的背景延伸到抛物线和双曲线中.

延伸模型一：如图8，已知抛物线C2:y2=2px，AB为过抛物线焦点的焦点弦，分别过A、B作切线l1,l2交于点Q，则Q点落在定直线上，且AB⊥QF.

图8

解析：设Q(x0,y0)，则lAB:y0y=p(x0+x)，由于lAB过右焦点则即落在定直线即抛物线的准线上.另一方面，所以kQF·kAB=-1，QF⊥AB成立.

延伸模型二：如图9，已知双曲线为过双曲线焦点F2(c,0)的焦点弦，分别过A、B作切线l1,l2交于点Q，则Q点落在定直线上，且AB⊥QF2.

图9

解析：设Q(x0,y0)，则由于lAB过右焦点F2(c,0)，则即落在定直线即抛物线的准线上.另一方面，所以kQF2·kAB=-1，即有QF⊥AB成立.

评注：模型一就是著名的阿基米德三角形.实际上，进一步我们可以证明AQ⊥QB.对于模型二，同模型一，可以进一步说明AQ⊥QB.变式延伸的环节能体现出该教师对于数学知识的联系和迁移能力，也是教师扎实基本功的直接体现.

问题4 功能体现不彻底

说题时，最后一个环节是要说题目的功能价值，即该题考察学生的功能性价值，如检测功能、练习功能、教学功能等.参赛老师对该环节不够重视，甚至一笔带过.笔者在本题背景的基础上提出了几个变式思考题，在求解的过程中并进一步提出了以极点极线为背景命制的试题往往伴随着“非对称式题型”的处理过程.

题目 已知椭圆点P为椭圆上的一个动点，A1,A2分别为左右顶点.

思考题1如图10，PG为过左焦点F1的焦点弦，分别过P、A2与G、A1作直线PA2，GA1交于点T，证明：点T落在定直线上.

图10

解析：设lPG:x=my-c，P(x1,y1),G(x2,y2),T(x0,y0)，则联立lPA2,lGA1得联立lPG与椭圆得(m2b2+a2)y2-2mcb2y-b4=0，则两式相除得代入化简得解得

实际上，由第三部分延伸的极点极线理论可知，焦点F1作为极点时，极线为准线

思考题2 如图11，点Q是椭圆长轴上异于左右焦点的定点，连接PQ并延长交椭圆于点G，分别过P、A2与G、A1作直线PA2，GA1交于点T，证明点T的横坐标为定值.

图11

解析：设lPG:x=ty+m，P(x1,y1),G(x2,y2),T(x0,y0)，则联立lPA2,lGA1可得联立lPG与椭圆得(t2b2+a2)y2+2tmb2y+b2m2-a2b2=0，则两式相除得代入化简得解得实际上，由极点极线理论可知，点Q(m,0)作为极点时，极线为

思考题3 如图12，点Q(m,0)是椭圆长轴外的定点，连接PQ交椭圆于点G，分别过P、A1与G、A2作直线PA1，GA2交于点T，证明点T的横坐标为定值.

图12

解析：类似思考题2，点Q(m,0)作为极点时，极线为

评注：近两年的浙江省高考圆锥曲线题中，以常规的韦达定理解决往往伴随着较大的计算量.因此也引起了对圆锥曲线题中“非对称代数式问题”的研究.笔者给出的基于极点极线理论的几个思考题，能让学生对该类“非对称式代数式问题”题型的处理方法有更进一步的感悟.充分体现了该题以及在极点极线为背景名制的试题的教学功能.

总结反思：研题、说题活动可以加强年轻教师之间的业务交流，促进年轻教师的专业发展，从而进一步推进学校教学质量的稳步提升.笔者从自己参加的比赛为例，谈了自己对说题比赛的切身体会，并在总结反思中不断地成长.

参考文献

[1]施利强,江战明.圆锥曲线中非对称代数式的处理方法[J].教学月刊(中学版).2020(09).