【原】第11讲：《全微分及其应用》内容小结、课件与典型例题与练习

1、全增量与全微分的基本概念

设函数 在点 的某邻域内有定义， 为该邻域内的任意一点，记 , ，则自变量 变化到 时函数 的全增量为

如果函数 在点   可微，则函数的全增量可以表示为

其中 是与自变量的增量 无关的量，并且把去掉无穷小量的部分称为函数的全微分，并记作 ，即

2、函数可微的必要条件与充分条件

• 必要条件：函数可微，在函数偏导数存在，并且

但函数在某点处偏导数存在，函数不一定可微.

【注】 全微分为切平面函数(线性化函数)的函数值的增量.

• 充分条件：函数在某点处两个偏导数连续，则函数在该点可微. 但函数在某点处可微，偏导数在该点不一定连续.
  
  

  

3、偏增量与偏微分

设函数 在点 的某邻域内有定义， 为该邻域内的任意一点，记 , ，则函数关于 变量的偏增量与相应的偏微分为

叠加原理：全微分等于所有偏微分之和，即

4、二元函数可微性的判定方法与步骤

• 定义法

(1) 求全增量：

(2) 求 处的两个偏导数(如果有一个偏导数不存在，则函数不可微)；

(3) 判定极限

是否等于0，如果等于0，则函数可微，否则不可微.

• 基于充分条件的方法

(1) 求偏导数函数，定义区域内用求导运算法则直接求导函数，分段点处用定义求；

(2) 判定偏导函数的连续性，连续则可微；不连续不一定可微，则需要使用定义法重新判定.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！

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