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高考小题标准练(十)
满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知a是正实数，若复数的模为，则实数a的值是()
A．2B．3C．4D．4
【解析】选C.因为＝＝()＋()i，又因为Z的模为，所以＋＝
解得a＝4.
2．已知集合AB＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B≠，若3，4B，则满足条件的集合A的个数为()
A．7个B．8个
C．15个D．16个
【解析】选C.由题意知3，4B，A∩B≠，所以A∩B是集合{1，2，5，6}的非空子集，因此，满足条件的集合A的个数为24－1＝15.
3．若cosx＋sin＝1，则cos(2x＋)＝()
A．－B．－C．－D．－
【解析】选C.因为cosx＋sin＝1，
所以cosx＋sincosx－cossinx＝1，
所以cosx－sinx＝1，cos(x＋)＝1，所以cos＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
4.的展开式的常数项为()
A．112B．56C．28D．14
【解析】选C.因为8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx3(8－r)＝Cx24－4r，由24－4r＝0，得r＝6，
所以所求的常数项为C＝C＝28.
5．已知点O(0，0)，M(－20，21)，将向量绕点O按顺时针方向旋转90°后得到向量，则点N的坐标是()
A．(21，20)B．(21，－20)
C．(－21，20)D．(－21，－20)
【解析】选A.方法一：设N(x，y)，(x，y>0)，由
得，解得.
所以N(21，20).
方法二：如图所示，M，N在x轴上的射影为M′，N′，
设N(x，y)，因为，所以1＋2＝90°.
又1＋M＝90°，所以M＝2，
又||＝||，M′＝N′，
所以OM′M≌△NN′O，
所以x＝ON′＝M′M＝21.
y＝N′N＝OM′＝20.
所以N(21，20).
6．设a，b，c都是正实数，若10a＝loga，()b＝logb，()c＝lgc，则()
A．a
C．c
【解析】选A.画出四个函数y＝10x，y＝，y＝logx，y＝lgx的图象，如图，
由图可知，a
7．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝20，则a2022＝()
A．5B．7C．10D．14
【解析】选C.由已知可得a1＝20，a2＝10，a3＝5，a4＝14，a5＝7，a6＝20，
所以数列具备周期性，周期是5，即an＋5＝an，所以a2022＝a404×5＋2＝a2＝10.
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，P是抛物线上的第一象限的点，过点P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，若＝3，则直线l的方程为()
A．x－y－＝0B．x＋y＋＝0
C．x－y＋＝0D．x－y＋＝0
【解析】选C.抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由于＝3，根据抛物线的定义可知xP＝1，将xP＝1代入抛物线方程得y2＝8，yP＝2，所以P(1，2).设直线l的斜率为k(k>0)，把直线l的方程y－2＝k(x－1)，代入抛物线方程整理得k2x2＋[2k(2－k)－8]x＋(2－k)2＝0，
因为直线l与抛物线有且只有一个公共点，
所以Δ＝[2k(2－k)－8]2－4k2(2－k)2＝0，解得k＝，所以直线l的方程y－2＝(x－1)，即x－y＋＝0.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的一个，剩下的六个数据分别是2，2，4，2，5，10，则丢失的这个数据可能是()
A．－11B．3C．9D．17
【解析】选ABD.设这个数据为a，由题意得，众数为2，平均数为，
若a≤2时，这列数为a，2，2，2，4，5，10，则中位数为2，则，2，2成等差数列，
所以2×2＝＋2，解得a＝－11<2，满足题意，故A正确；
若2
若a≥4时，这列数为2，2，2,4,a，5，10，则中位数为4，则，4，2成等差数列，所以2×4＝＋2，解得a＝17>4，满足题意，故D正确．
10．已知a>b>0，cR，下列不等式恒成立的有()
A．bc2
C．log2>log2D．<
【解析】选AD.对于A选项，函数y＝为R上的减函数，由a>b>0，可得<，A选项正确；对于B选项，取c＝0，则ac2＝bc2，B选项错误；对于C选项，函数y＝log2x为(0，＋∞)上的增函数，因为a>b>0，则log2a>log2b，则log2＝－log2a<－log2b＝log2，C选项错误；对于D选项，由基本不等式可得2ab≤a2＋b2，所以，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即≤，当且仅当a＝b时等号成立，因为a>b>0，所以，<，D选项正确．
11．下列说法正确的是()
A．若3a＝4b＝12，则a＋b>4
B．“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件
C．已知回归直线方程y＝2x＋，且＝5，＝20，则＝15
D．函数f(x)＝|cos4x|的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称
【解析】选AB.由a＝log312，得＝log123，＝log124，＋＝1，a>0，b>0，a≠b，
所以(a＋b)＝2＋＋>4(由于a≠b所以等号不成立)，故A正确．
B．由两直线垂直，可得a2＋(a－2)＝0，解得a＝1或a＝－2；所以“a＝1”是“直线ax＋y－1＝0与直线ax＋(a－2)y＋5＝0垂直”的充分条件，故B正确．
C．回归直线一定过样本中心点，＝2＋，＝20－2×5＝10；故C不正确．
D．将f(x)＝|cos4x|的图象向左平移个单位，可得y＝＝|cos(4x＋)|＝|sin4x|，函数g(x)＝|sin4x|，由g＝g＝1，所以g≠－g，所以g(x)不是奇函数，其图象不关于原点对称，所以D不正确．
12．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是()
A.若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
【解析】选ACD.如图：
对于A，根据正方体的性质可知，MD平面ABCD，所以MND为MN与平面ABCD所成的角，所以MND＝，所以DN＝DM＝DD1＝×4＝2，所以点N的轨迹为以D为圆心，2为半径的圆；故A正确；对于B，在直角三角形MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，因为P为MN的中点，所以PEDN，且PE＝DN＝，因为DNED，所以PEED，即点P在过点E且与DD1垂直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；对于C，连接NB，因为BB1平面ABCD，所以BB1NB，所以点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
对于D，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，
设N(x，y，0)，则＝(0，4，0)，＝(x，y，－4)，因为D1N与AB所成的角为，
所以|cos〈，〉|＝cos，
所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D正确．
三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝2sin(ω>0)在区间上是单调递减函数，则ω的取值范围是________．
【解析】由2kπ＋≤wx＋≤2kπ＋，kZ，解得≤x≤，
由已知可得，
因为ω>0，所以＋36k≤ω≤9＋k，kZ，
由＋36k>0，kZ，得到k≥0，kZ，由＋36k≤9＋k得到k≤0，kZ，
所以k＝0，≤ω≤9.
答案：≤ω≤9.
14．设点P是曲线y＝上任意一点，直线l过点P与曲线相切，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
【解析】因为y＝＝＝1－，求导得y′＝＝，因为e2x＋e－2x≥2，所以e2x＋e－2x＋2≥4，所以0
所以0<α≤.
答案：
15．如图在直三棱柱ABM-DCN中，AB＝6，AD＝2，AMB＝90°，则它的外接球的表面积等于________.
【解析】连接AC，根据题意可知它的外接球的直径是AC，连接MC，则AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋AD2＝62＋22＝40，所以外接球的表面积为4πR2＝πAC2＝40π.
答案：40π
16．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，动圆C与圆C1，C2都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为__________；直线l与曲线E仅有三个公共点，依次为P，Q，R，则|PR|的最大值为________．
【解析】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝81，则圆C1内含于圆C2，
圆C1的圆心为C1(－3，0)，半径为r1＝1；圆C2的圆心为C2(3，0)，半径为r1＝9.
设动圆C的半径为r，分以下两种情况讨论：
圆C与圆C1外切，与圆C2内切，由题意可得，所以|CC1|＋|CC2|＝10>|C1C2|＝6，此时，圆C的圆心轨迹E是以C1，C2分别为左、右焦点，长轴长为2a1＝10的椭圆，所以a1＝5，c1＝3，则b1＝＝4，此时，轨迹E的方程为＋＝1；
圆C与圆C1，C2都内切，且r1|C1C2|＝6，此时，圆C的圆心轨迹E是以C1，C2分别为左、右焦点，长轴长为2a2＝8的椭圆，所以a2＝4，c2＝3，则b2＝＝，此时，轨迹E的方程为＋＝1；综上所述，轨迹E的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由于直线l与曲线E仅有三个公共点，则直线l与椭圆＋＝1相切．
若直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±4，
可设直线l的方程为x＝4，
联立，
解得，此时|PR|＝；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
联立，消去y并整理得(16k2＋7)x2＋32kmx＋16(m2－7)＝0，
Δ1＝322k2m2－4×16(m2－7)×(16k2＋7)＝7×82(16k2＋7－m2)＝0，
可得m2＝16k2＋7，
设点P(x1，y1)，R(x2，y2)，
联立，消去y并整理得
(25k2＋16)x2＋50kmx＋25(m2－16)＝0，
Δ2＝502k2m2－4×25(m2－16)×(25k2＋16)＝1600(25k2＋16－m2)＝14400(k2＋1)>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|PR|＝|x1－x2|＝
＝
＝＝＝，
所以|PR|≤＝，当且仅当k＝0时，|PR|取得最大值.
答案：＋＝1或＋＝1
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