有限元(FEM)、有限差分(FDM)和有限体积(FVM)的优势和劣势分析

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偏微分方程的类型

偏微分方程（组）可以把它的算子提出来，构成算子代数方程（组），然后根据算子代数方程（组）的特征值来区分是椭圆的、双曲的、还是抛物型的。具体可以翻看各类数学物理方程或者偏微分方程的教材，一般前两章必讲。

工程中碰到的椭圆方程（组）有：

• 弹性力学中的各种方程组，几乎都是椭圆的；

• 热传导方程，如果不含时间项（定常）。

工程中碰到的纯双曲方程不多，各种波动方程一般都是双曲的。比如声波传导，各类波动方程，只能在教科书的例子中见到。工程中的纯抛物问题也不多，各种发展类型的物理问题大多数是抛物型的。比如非定常热传导（纯抛物型的）。

下面我们要说一些其他的方程了，多类型混合的。上面已经说了，工程界碰到的纯粹抛物和纯粹双曲的都不多，而且单类型的方程都不是被人搞出解析解了，就是用数值方法解决的很好了。

抛物型最容易和其他两种结合搞出难以求解的方程，比如：

• 弱可压缩流体（比如亚声速燃烧、风场等），椭圆-抛物方程因为抛去时间项后，体现为椭圆方程的特征，这种一般好求解；

• 各类液体流动方程，同上。

双曲-抛物型方程比较厉害，这个我们专门来说一说：

• 空气动力学方程组，波澜壮阔如雷贯耳，典型的双曲-抛物型。就算抛去时间项，还是双曲型的。双曲已经很难搞，再叠加一个抛物属性，有多难随便你想。

• 电磁学Maxwell方程组，特征速度就是光速，CFL条件你要怎么提?

双曲型方程是可以搞出间断的，在空气动力学中就是激波，所以含有双曲属性的工业问题在学术界都是老大难。

三类方法的优缺点

1. 有限元 (Finite Element Method)

椭圆方程适合用有限元，当然椭圆方程用什么都可以，只不过有限元方法之于椭圆方程就好比青椒对瘦肉，绝配。那些求解结构强度，结构动响应的都用有限元。前面说了，这些问题大多都是椭圆型方程，就算是带了非定常时间项，也可以用各类方法把时间项折叠 (folding) 到空间项中，用有限元方法求解。椭圆方程中没有间断，怎么折腾都可以。你们用到的ansys、abaqus核心求解器，都是典型的有限元方法。

2. 有限差分 (Finite Difference Method)

有限差分百搭，解什么都可以，只不过有限差分大多要求结构网格，一般学术研究中用得多。

有限差分还有个不大不小的优势，就是能利用结构网格的拓扑优势轻松扩大模板，构造出高精度格式。

电磁学领域有些软件会用FDTD（时域有限差分）方法，个人见过的为数不多的在工业软件领域采用差分的例子。

3. 有限体积法 (Finite Volume Method)

有限体积法就比较强大了，除了高精度构造略微麻烦，几乎通吃有限差分所有领域，双曲性、抛物型、椭圆形都可以。当然，对于椭圆形方程不如有限元方法更搭配。看看这些如雷贯耳的软件, fluent、star-cd、cfx、esi-fastran、esi-ace、openfoam、 su2等等全是有限体积法，知道有限体积法的强大了吧。

三种方法中有限元和有限体积对计算域（几何区域）复杂度适应性好，而有限差分就是差很多了。因此，FEM 和FVM 都是工程软件的首选，现在甚至学术界几乎都用FEM 和FVM了，而FDM 只是学生入门的时候用用。

原文链接：

https://blog.csdn.net/weixin_42437828/article/details/80785602