     【附】为便于编辑修改，特提供纯文本文档如下： 2021 年联赛A1卷加试中集合构造问题的思路剖析与解答 冯跃峰 【真题2-8】求正整数a、b、n（其中n≥2）满足的充分必要条件，使得存在一个从集合S={a+bt|t=0，1，…，n-1}到自身的一一映射f：S→S，满足：对任意x∈S，均有x与f（x）互素。（2021 年全国高中数学联赛A1卷加试试题，江苏河南专用） 【题感】从目标看，属于广义极值问题，相当于求出所有的a、b、n。 它包括两个方面：一是建立方程与不等式（隐式求值，必要性）；二是构造合乎条件的映射f（充分性）。 由于题目条件不提供“算法”，无法直接建立方程与不等式，可从特例入手：取一些特定的a、b、n，尝试构造合乎要求的映射f。 如果发现f不存在，即可排除这样的a、b、n；如果发现f存在，便可寻找其构造规律。 【研究特例】取a=b=1，n=2，则S={1+t|t=0，1}={1，2}。 下面尝试构造映射f：S→S，满足：对任意x∈S，均有（x，f（x））=1。这是很简单的：令f（1）=2，f（2）=1即可。 【研究特例】取a=b=1，n=3，则S={1+t|t=0，1，2}={1，2，3}。 下面尝试构造映射f：S→S，满足：对任意x∈S，均有（x，f（x））=1。这可采用“错位对应”即可（避免与自己对应）：f（1）=2，f（2））=3，f（2）=1。 对一般的n，是否也可以采用“错位对应”？可先试试。 【平凡推广】对a=b=1，n任意，有S={1+t|t=0，1，…，n-1}={1，2，…，n}。 令f（1）=2，f（2）=3，…，f（n）=1，因为（x，f（x））=（x，x+1）=1（x≤n-1），（n，f（n））=（n，1）=1，所以映射f合乎要求。 这一构造适合任何的a、b？再试试。 【尝试错误】对任意正整数a、b、n（其中n≥2），S={a+bt|t=0，1，…，n-1}={a，a+b，a+2b，…，a+（n-1）b}。 令f（a+bt）= a+ b（t+1）（t≤n-2），f（a+b（n-1））=a。 【验证】当x= a+bt（t≤n-2）时，（x，f（x））=（a+bt，a+ b（t+1））=（a+bt，b）=（a，b）；此外，当x= a+（n-1）b时，（x，f（x））=（a+（n-1）b，a）=（（n-1）b，a）。 现在需要（a，b）=1，（（n-1）b，a）=1，才能有映射f合乎要求。 那么，这一条件是否一定存在？也就是说，如果存在合乎要求的映射f，是否一定有（a，b）=1，（（n-1）b，a）=1？ 【探索】先尝试证明（a，b）=1。只要发现了这一目标，证明是很简单的，属于常规的数论问题。 令（a，b）=d，则d| a+bt，所以整除S的所有元素。 取x∈S，有f（x）∈S ，则d|x，d| f（x）。但（x，f（x））=1，所以由3裴蜀定理，d|1，从而（a，b）= d=1。 再尝试证明（（n-1）b，a）=1，但这是一个假命题，存在反例：a=3，b=1，n=7。 此时，S={3+t|t=0，1，…，6}={3，4，5，…，9}，（（n-1）b，a）=（6，3）≠1，但存在如下合乎要求的映射f： f（3，4，5，6，7，8，9）=（4，5，6，7，3，9，8）。 该映射可以看成是两个“错位映射”的并：（3→4→5→6→7→3）∪（8→9→8）。 由此想到递归构造：为了保证归纳假设中的构造可以“原封不动”，可采用跨度为2的归纳，新增的两个元素建立“错位映射”即可。 这样，只需验证n=2和n=3两种情形。 当n=2时，S={a+bt|t=0，1}={a，a+b }，构造“错位映射”：f（a）= a+b，f（a+b）= a，由（a，a+b）=（a，b）=1，知f合乎要求。 的n=3时，S={a+bt|t=0，1，2}={a，a+b，a+2b }，构造“错位映射”：f（a）= a+b，f（a+b）= a+2b，f（a+2b）= a。 由（a，a+b）=（a，b）=1，（a+b，a+2b）=（a+b，b）=（a，b）=1， （a+2b，a）=（2b，a）。 要使f合乎要求，必须a为奇数。 这里，“a为奇数”的要求并非必须的，比如n=2时，a可以为偶。再考虑到“跨度为2”的归纳，可知上述构造合乎要求的条件是：当n为奇数时，a为奇数。 有了具体的目标，证明是很简单的，进行奇偶分析即可。 【角色分析】先看假言“n为奇数”的实际意义，n=|S|为奇数，表明S有奇数个元素，自然可计算S中奇、偶数的个数。 由于（a，b）=1，有b为奇数，从而S中的数奇偶交替，奇、偶数的个数取决于第一个数a的奇偶性。 为了使a有确定的奇偶性，可采用反面思考。 【反面思考】若n为奇数时，a为偶数，则S中第一个数a是偶数，从而奇数比偶数少。 但由映射的性质，偶数的像必定是奇数，无法建立一一映射，矛盾。 综上所述，所求的充分必要条件是：“（a，b）=1，且当n为奇数时，a为奇数”。 【注】我们的解答与“官方解答”本质上是一致的，但思路较其更为自然。 【新写】设a、b、n符合题意，令（a，b）=d，则d整除S的所有元素。对x∈S，有d|x，d| f（x）。但（x，f（x））=1，所以由3裴蜀定理，d|1，从而（a，b）= d=1。 此外，若n为奇数且a为偶数，则由（a，b）=1，有b为奇数，从而S中的数由小到大奇偶交替。又第一个数a为偶数，所以S中奇数比偶数少。但由（x，f（x））=1，偶数的像必定是奇数，无法建立一一映射，矛盾。所以n为奇数时，a为奇数。 反之，若“（a，b）=1，且当n为奇数时，a为奇数”，则存在合乎要求的映射f。 对n归纳。当n=2时，S={a，a+b }。令f（a）= a+b，f（a+b）= a；当n=3时，a为奇数，S={a，a+b，a+2b }。令f（a）= a+b，f（a+b）= a+2b，f（a+2b）= a。由（a，a+b）=（a，b）=1，（a+b，a+2b）=（a+b，b）=（a，b）=1，（a+2b，a）=（2b，a）=1，知f合乎要求。 设对正整数n≥2，存在合乎要求的映射fn，考虑n+2的情形，Sn+2= Sn∪{a+bn，a+b（n+1）}。 构造映射fn+2：当x∈Sn时，fn+2（x）= fn（x），此外，fn+2（a+bn）= a+b（n+1），fn+2（a+b（n+1）= a+bn。 由归纳假设，以及（a+bn，a+b（n+1））=（a+bn，b）=（a，b）=1，知f合乎要求。 综上所述，所求的充分必要条件是：“（a，b）=1，且当n为奇数时，a为奇数”。 |
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