本部分涉及扰动及微分，内容较为复杂，需要结合前几讲的公式进行理解，后期会使用MATLAB写一些实例进行理解；
扰动后旋转元素 可以按照未受扰动旋转元素q和微小局部扰动 的顺序表示。根据汉密尔顿惯例，这个局部扰动通常出现在右侧，这里给出四元数和矩阵形式，局部扰动 很容易根据它的等效向量得到，通过在正切空间使用指数映射，即受扰动后的旋转元素，如果局部扰动角度非常小，那四元数或旋转矩阵形式的扰动根据泰勒展开式可得到，（根据第3讲3.2部分公式）因此扰动可以在实际方向SO(3)的正切局部向量空间指定。进而，在这个向量空间表示这些扰动的协方差矩阵变得非常方便。接下来思考全局定义下的扰动及相关导数。全局扰动则出现在四元数乘积中的左边，即
进而全局扰动的表达式为，
这些扰动在初始位置SO(3)的正切向量空间被指定。
通过在向量空间表示局部扰动，我们将很容易得到对时间微分的表达式。现在考虑q=q(t)为原始真实状态， 是扰动状态，则运用微分定义对于上式，可采用（角度的变化对时间的微分即是角速度），此处，△φ是一个局部角度扰动，对应于q定义下局部帧的角速度向量。四元数（相同的方法可用于旋转矩阵）对于时间的微分，进一步推导，（行2结合4.4.1部分）这两个公式正好与第三讲SO(3)中2.1和3.1部分一致；有趣的是，我们能参考角速度获得特定参考帧，它出现在由方向q或者R定义的局部帧中，这可能就是q和R的准确几何意义。从这个角度理解，当角速度出现在参考帧时，上述两个公式表明参考帧方向的演变趋势。 但需要注意，因为四元数乘法不具有交换律，因此需要我们严格按照乘积顺序 。这代表（无法合并成两倍）4.5.1的结论公式两边分别成四元数共轭或矩阵的转置，转化为求局部角速度的公式（全局角速度同理），
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