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在矩形和菱形背景下的直角三角形存在性问题，往往借助菱形和矩形对角线的特殊性质助力问题解决。(如菱形对角线互相垂直，矩形的对角线互相相等)。此时产生的直角三角形往往都是比较特殊的30°-60°-90°的直角三角形，借助这个三角形边角的特殊性，助力问题解决。   解法分析：本题的背景是平行四边形，结合图形的翻折进行综合考察的。翻折后，图形的对应边和对应角分别相等。借助这条性质可以进行进一步的分析。 本题的第一问是证明线段平行，常见的证明线段平行有以下几种方法：①通过角相等(内错角/同位角)证明线段平行；②通过角互补(同旁内角)证明线段平行；③通过证明平行四边形/梯形得到对应边平行；④三角形/梯形的中位线；⑤平行的传递性。由于翻折后，出现了较多的相等线段，因此可以借助三角形全等(△ACE和△ACD)得到OA=OC，OD=OE，利用一组X型的三角形(△AOC和△DOE)，得到一组内错角相等(∠DAC=∠ODE)，继而证明AC//DE.  本题的第二问是矩形背景下的翻折，要求△OAC的面积，只要求出AO即可。对于矩形背景下的翻折，会出现喝多等角和等边以及全等的三角形，此时要善于将三条线段“转移”到一个直角三角形中，借助勾股定理求出相应线段的长度。常见的矩形翻折主要有以下四类状态，以及通常选择构造的直角三角形：  本题隶属于状态2，具体的解题过程如下：  本题的第三问是直角三角形的存在性，由于BC长度的不确定性，因此主要有以下四类情况，本题充分考察了作图能力和空间想象能力，要花全面、画完整是具有一定难度的。具体的运动路径如下图所示：      解法分析：本题的背景是菱形。第一问证明四边形是菱形，添线的关键是联结AC，利用全等三角形或者垂直平分线的性质定理证明；本题的第二问是函数关系式的确立，利用构造的直角三角形建立数量关系，需要注意的是P点位置可能在BO上也可能在OD上；本题的第三问是直角三角形的存在性问题，需要分类讨论，即E在线段BC或E在线段BC延长线上，然后根据E的位置分类讨论直角三角形的存在性。本题需要充分利用30°-60°-90°直角三角形的性质助力问题解决：  |
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