两题涉及双曲函数之证明上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本文题目主要涉
及双曲函数及其变化，与普通三角函数之互化。本文两题能表现两种函数之互化及与虚数i之关系。关键词：双曲函数双曲余弦本文乃笔者之
“高等数学札记”之一，主要涉及双曲函数及相关之证明题。双曲函数见于一般之高等数学书籍，须要知道双曲函数与普通三角函数之关系。〈第一
题〉有两复数z=x+iy与w=u+iv，而两者之间之关系为z=ccoshw。coshw为双曲余
弦，试证明：(i)+=–=1。(ii)若u=v=1，求x与y之值。首先注意以下等式：双曲正
弦：sinhx=–isin(ix)。双曲余弦：coshx=cos(ix)。双曲正切：tanhx=–
itan(ix)。以上诸式可参阅一般之高等数学书籍。证明：(i)从z与w可知x+iy=ccosh(u
+iv)-----------------------(1)其共轭式亦必成立，即：x–iy=ccosh(u–
iv)------------(2)(2)式乃解本题之关键。两式相加(1)+(2)得2x=c[cosh(u
+iv)+cosh(u–iv)]，移项得：=cosh(u+iv)+cosh(u–iv)----
------------------------------(3)又(1)–(2)得2iy=ccosh(u+
iv)–ccosh(u–iv)，移项得：cosh(u+iv)–cosh(u–iv)------
--------------------------(4)注意双曲函数之和差化积公式：cosha+coshb=2
cosh?(a+b)cosh?(a–b)及cosha–coshb=2sinh?(a+b)
sinh?(a–b)。所以(3)式可化为：=2coshucoshiv即=coshucoshiv
=coshucosv﹝见双曲余弦等式﹞----------------------------------------
------------------------(5)。又(4)式可化为：=2sinhusinhiv即=
sinhusinhiv=–isinhusin(–v)=isinhusinv﹝见双曲正弦等式﹞--
---------------------------(6)。因为(5)式=coshucosv，即cosv
=。因为(6)式=isinhusinv，约去i得=sinhusinv，即sinv=
。以上两式左右平方后相加得cos2v+sin2v=+=1。(5)式又可写成coshu=，(6)
式又可写成sinhu=。以上两式左右平方后相减得cosh2u–sinh2u=–=1。所以+=
–=1。证毕。(ii)若u=v=1，(5)式可变成x=ccosh1cos1，设1为弧度，而
1弧度=57o18’=57.29577951o。e乃自然对数之底=2.718281828。因为cosh1=
?(e+e–1)，所以x=ccosh1cos1=c?(e+e–1)cos57o18
’=1.543080635c×cos57o18’=0.833730025c。又(6)式=sinhusin
v注意sinh1=?(e–e–1)。y=csinh1sin1=c?(e–e–1)
sin57o18’=1.175201194c×sin57o18’=0.988897705c。若取c=1，则
x与y之值明显。〈第二题〉有四实数x、y、u及v，此四实数有以下之关系式：cosh(x+iy)=cot(
u+iv)。(i)试证明=–tanhxtany。(ii)又证明coth2v=。注意：双曲余切：cot
hx=icot(ix)。(i)证明：因为cosh(x+iy)=cot(u+iv)----------
-----------------------------(1)其共轭式亦必成立，即：cosh(x–iy)=cot
(u–iv)------------(2)(1)+(2)得cosh(x+iy)+cosh(x–iy
)=cot(u+iv)+cot(u–iv)等号左方cosh(x+iy)+cosh(x–iy)
=2coshxcosh(iy)。﹝双曲函数和差化积公式﹞等号右方cot(u+iv)+cot(u–iv
)=+=。上式之分子cos(u+iv)sin(u–iv)+cos(u–iv)sin(u+iv
)=[sin(–2iv)+sin(2u)]+[sin(2iv)+sin(2u)]=sin2u。上式
之分母sin(u+iv)sin(u–iv)=[cos(2iv)–cos(2u)]。所以2coshxc
osh(iy)=即coshxcosh(iy)=，又可写成coshxcosy=-----------
-----------------------(3)。又(1)–(2)得cosh(x+iy)–cosh(x
–iy)=cot(u+iv)–cot(u–iv)。等号左方cosh(x+iy)–cosh(
x–iy)=2sinhxsinh(iy)。等号右方cot(u+iv)–cot(u–iv)=–
=。上式之分子cos(u+iv)sin(u–iv)–cos(u–iv)sin(u+iv)=[
sin(–2iv)+sin2u]–[sin(2iv)+sin2u]=sin(–2iv)。上式之分母si
n(u+iv)sin(u–iv)=[cos(2iv)–cos(2u)]所以2sinhxsinh(iy
)=即sinhxsinh(iy)=isinhxsiny=左右两方乘以–i得sinhxsin
y=----------------------------------(4)。(4)÷(3)得sinhxsi
ny÷coshxcosy=÷，等号左方sinhxsiny÷coshxcosy==tan
hxtany，右方得×=。即=tanhxtany即=–tanhxtany。证毕。(ii
)因为已知cosh(x+iy)=cot(u+iv)所以u+iv=cot–1[cosh(x+
iy)]-------------------------------------(5)同理u–iv=cot–1
[cosh(x–iy)]--------------------------------------(6)(5)–
(6)得2iv=cot–1[cosh(x+iy)]–cot–1[cosh(x–iy)]---
--(7)设cot–1[cosh(x+iy)]=α及cot–1[cosh(x–iy)]=β，(7)可写成2iv=α–β，左右两方取cot得：cot(2iv)=cot(α–β)====。移项得：4cot(2iv)=–4icoth2v=4icoth2v=，将4i移至右方分母coth2v=coth2v=。证毕。2 |
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