沪科版九年级上学期期末模拟试卷2
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.抛物线y=x2+6x+9与x轴交点的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9:16,则△ABC与△DEF的周长之比为()
A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16
3.如图,在6×6的正方形网格中,连结两格点A,B,点C、D是线段AB与网格线的交点,则BC:CD:DA为()
A.3:4:5 B.1:3:2
C.1:4:2 D.3:6:5
4.如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均是1,△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,则tanA的值为()
B.
C. D.
5.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致是()
A. B.
C. D.
6.如图,平面直角坐标系中,△AOC的顶点A在y轴上,反比例函数的图象经过点C及AC边的中点B.若S△AOC=6,则k的值为()
﹣4 B.﹣6
﹣8 D.﹣9
7.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB的长为()米.
A.12 B.4 C.5 D.6
8.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB的中点,BD与CE交于点O,连接DE.下列结论:①②③=④=,其中正确的个数有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.如图所示,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=xm,长方形的面积为ym2,要使长方形的面积最大,其边长x应为()
m B.6m C.15m D.m
10.如图,反比例函数y=(x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB、BC相交于点D、E,与对角线OB交于点F,以下结论:
①若△OAD与△OCE的面积和为2,则k=2;
②若B点坐标为(4,2),AD:DB=1:3,则k=1;
③图中一定有;
④若点F是OB的中点且k=6,则四边形ODBE的面积为12.
其中一定正确个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(共4小题,合计20分,每小题5分)
11.已知函数y=﹣x2+4x,当时,y随x的增大而增大.
12.当﹣2≤x≤1时,抛物线y=﹣(x﹣m)2+m2+1有ymax=4,则m=
13.如图,在三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm.点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动,点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动.如果两点同时出发,经过秒后,△APQ与△ABC相似.
14.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点E,则sin∠AED的值是.
三.解答题(共9小题,8+8+8+8+8+8+10+10+12+14)
15.计算:(2017﹣2016π)°﹣﹣|tan60°﹣2|+()﹣1.
16.(1)解方程:3x(x﹣1)=2﹣2x;
(2)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点且过点B(2,﹣5),求该函数的解析式.
17.已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2),B(3,3),C(2,1).
(1)画出△ABC;
(2)以原点为位似中心,将△ABC放大到原来的2倍,在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1;
(3)在(2)中,△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1,直接写出P1的坐标.
18.如图①,E是平行四边形ABCD的边AD上的一点,且=,CE交BD于点F.
(Ⅰ)若BF=15,求DF的长;
(Ⅱ)如图②,若延长BA和CE交于点P,AB=8,能否求出AP的长?
若能,求出AP的长;若不能,说明理由.
19.如图,用高度为1.5米的测角仪分别在A处、E处测得线杆上的C处的仰角分别为30、60°(点B、F、D在同一条直线上).如果BF=4米,求电线杆CD的高度.
20.如图,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C,D两点,交反比例函数y=图象于A(,4),B(3,m)两点.
(1)求直线CD的表达式;
(2)点E是线段OD上一点,若S△AEB=,求E点的坐标;
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集.
21.如图,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(DE>CE),连接AE,并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.
22.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣1,0)、B(3,0)点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)在直线l上确定一点P,使△PAC的周长最小,求出点P的坐标;
(3)若点D是抛物线上一动点,当S△ABC=3S△ABD时,请直接写出点D的坐标.
23.如图1,设D为锐角△ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°.
(1)求证:∠CAD+∠CBD=90°;
(2)如图2,过点B作BE⊥BD,BE=BD,连接EC,若AC?BD=AD?BC,
①求证:△ACD∽△BCE;
②求的值.
九上期末考试卷2参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)
1.(5分)抛物线y=x2+6x+9与x轴交点的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2+6x+9的图象与x轴交点的个数.
【解答】解:∵b2﹣4ac=36﹣4×1×9=0
∴二次函数y=x2+6x+9的图象与x轴有一个交点.
故选:B.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系.
△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
2.(5分)已知△ABC∽△DEF且对应中线之比为9:16,则△ABC与△DEF的周长之比为()
A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【解答】解:∵△ABC∽△DEF且对应中线之比为9:16,
∴△ABC与△DEF的相似比为9:16,
∴△ABC与△DEF的周长之比为9:16,
故选:D.
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
3.(5分)如图,在6×6的正方形网格中,连结两格点A,B,点C、D是线段AB与网格线的交点,则BC:CD:DA为()
A.3:4:5 B.1:3:2 C.1:4:2 D.3:6:5
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.
【解答】解:如图,
∵BH∥CF∥DE,
∴BC:CD:AD=FH:EF:AE=1:3:2,
故选:B.
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造平行线解决问题,属于中考常考题型.
4.(5分)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均是1,△ABC的顶点均在小正方形的顶点上,则tanA的值为()
A. B. C. D.
【分析】构造直角三角形,根据正切函数的定义得结论.
【解答】解:如图所示,连接格点C、D,则CD⊥AB
在Rt△ACD中,
tanA==
故选:D.
【点评】本题考查了三角函数的定义.连接格点构造直角三角形是解决本题的关键.在直角三角形中,锐角的正切=.
5.(5分)抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致是()
A. B.
C. D.
【分析】根据二次函数图象的开口向上可得a>0,再根据对称轴确定出b<0,然后根据x=﹣1,x=1时函数图象的位置求出a﹣b+c和a+b+c的符号,最后确定出b2﹣4ac与c﹣2b的正负情况,从而确定出一次函数图象与反比例函数图象即可得解.
【解答】解:∵二次函数图象开口向上,
∴a>0,
∵对称轴为直线x=﹣>0,
∴b<0,
当x=﹣1时,a﹣b+c>0,当x=1时,a﹣b+c<0,
∴(a+b+c)(a﹣b+c)<0,
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,
∴一次函数图象经过第一、二、四象限,反比例函数图象经过第二四象限.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,此类题目通常根据二次函数图象的开口方向,对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键.
6.(5分)如图,平面直角坐标系中,△AOC的顶点A在y轴上,反比例函数的图象经过点C及AC边的中点B.若S△AOC=6,则k的值为()
A.﹣4 B.﹣6 C.﹣8 D.﹣9
【分析】过B作BE⊥y轴于E,过C作CF⊥y轴于F,连接BO,则BE∥CF,于是得到BE=CF,求得S△AOB=3,设B(m,),则C(2m,),得到S△OBE=S△AOB=2,于是得到结论.
【解答】解:过B作BE⊥y轴于E,过C作CF⊥y轴于F,连接BO,
则BE∥CF,
∵B为AC的中点,
∴AE=EF,
∴BE=CF,
∵S△AOC=6,
∴S△AOB=3,
设B(m,),则C(2m,),
∴EF=OF,
∴AE=EF=OF,
∴S△OBE=S△AOB=2,
∵k<0,
∴k=﹣4,
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,设的面积,平行线分线段成比例定理,三角形的中位线的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
7.(5分)河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB的长为()米.
A.12 B.4 C.5 D.6
【分析】根据题意可以求得AC的长,再根据勾股定理即可求得AB的长,本题得以解决.
【解答】解:∵BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,
∴,
解得,AC=6,
∴AB==12,
故选:A.
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用坡度和勾股定理解答.
8.(5分)如图,在△ABC中,点D,E分别是边AC,AB的中点,BD与CE交于点O,连接DE.下列结论:①②③=④=,其中正确的个数有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC,DE=BC,即可判断①②;证明△EOD∽△COB,根据相似三角形的性质得到=,根据三角形的面积公式计算,判断③.
【解答】解:∵点D,E分别是边AC,AB的中点,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴=,①错误;
∵DE=BC,
∴=,②正确;
=,③错误;
∵DE∥BC,
∴△EOD∽△COB,
∴==,
∴=,
∴=,④正确;
故选:B.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
9.(5分)如图所示,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=xm,长方形的面积为ym2,要使长方形的面积最大,其边长x应为()
A.m B.6m C.15m D.m
【分析】本题考查二次函数最小(大)值的求法.思路是:长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积.
【解答】解:根据题意得:y=30﹣(5﹣x)﹣x(12﹣),
整理得y=﹣x2+12x,
=﹣[x2﹣5x+()2﹣],
=﹣(x﹣)2+15,
∵
∴长方形面积有最大值,此时边长x应为m.
故选:D.
【点评】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=﹣x2﹣2x+5,y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单.
10.(5分)如图,反比例函数y=(x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB、BC相交于点D、E,与对角线OB交于点F,以下结论:
①若△OAD与△OCE的面积和为2,则k=2;
②若B点坐标为(4,2),AD:DB=1:3,则k=1;
③图中一定有;
④若点F是OB的中点且k=6,则四边形ODBE的面积为12.
其中一定正确个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】①根据反比例函数比例系数k的几何意义,可知△OAD与△OCE的面积相等,均为1,据此即可求出k的值;
②根据B点坐标为(4,2),AD:DB=1:3,求出AD、AO的长,计算出△AOD的面积,据此即可求出k的值;
③根据△OAD与△OCE的面积相等,列出等式AD?AO=OC?CE,然后写成比例式=,再转化为=,然后利用合比性质解答.
④根据反比例函数k的几何意义,求出S四边形OGFH=6,进而得出S四边形ABCO=6×4=24,再求出S△AOD=S△CEO=6×=3,从而得到四边形ODBE的面积.
【解答】解:①∵D、E均在反比例函数图象上,
∴S△OAD=S△OCE,
又∵△OAD与△OCE的面积和为2,
∴S△OAD=S△OCE=1,
∴k=2;故本选项正确;
②∵B点坐标为(4,2),
∴AB=4,AO=2,
∵AD:DB=1:3,
∴AD=1,AO=2,
∴k=1×2=2;故本选项错误;
③∵△OAD与△OCE的面积相等,
∴AD?AO=OC?CE,
∴=,
∴=,
∴=,
∴=,
∴;
④∵k=6,
∴S四边形OGFH=6,
∴S四边形ABCO=6×4=24,
∴S△AOD=S△CEO=6×=3,
∴S四边形ODBE=24﹣3﹣3=18,
故选:B.
【点评】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数k的几何意义等知识,是一道综合题,要熟悉反比例函数的性质及四边形的性质.
二.填空题(共4小题)
11.已知函数y=﹣x2+4x,当x<﹣2时,y随x的增大而增大.
【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y=﹣(x﹣2)2+4,由于a=﹣1<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,根据抛物线的性质可知当x<﹣2时,y随x的增大而增大,即可求出.
【解答】解:∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
a=﹣1<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=﹣2,
∴当x<﹣2时,y随x的增大而增大,
故答案为:x<﹣2.
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,确定抛物线的对称轴是解答本题的关键,a>0,抛物线开口向上,在对称轴左侧y随x的增大而减小;a<0,抛物线开口向下,在对称轴左侧y随x的增大而增大.
12.当﹣2≤x≤1时,抛物线y=﹣(x﹣m)2+m2+1有ymax=4,则m=2或﹣
【分析】根据题意和二次函数的性质,利用分类讨论的方法可以求得m的值,本题得以解决.
【解答】解:∵当﹣2≤x≤1时,抛物线y=﹣(x﹣m)2+m2+1有ymax=4,
∴当m>1时,x=1时,函数取得最大值,
即4=﹣(1﹣m)2+m2+1,
解得,m=2;
当m<﹣2时,x=﹣2时,函数取得最大值,
即4=﹣(﹣2﹣m)2+m2+1,
解得,m=>﹣2(舍去);
当﹣2≤m≤1时,x=m时,函数取得最大值,
4=﹣(m﹣m)2+m2+1,
解得,m1=,m2=(舍去);
由上可得,m的值是2或﹣,
故答案为:2或﹣.
【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答.
13.如图,在三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm.点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动,点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动.如果两点同时出发,经过3或秒后,△APQ与△ABC相似.
【分析】分两种情形利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可.
【解答】解:由题意AP=t,CQ=2t,
∵AC=12cm,
∴AQ=(12﹣2t)cm,
当=时,△APQ∽△ABC,
∴=,
解得t=3.
当=时,△APQ∽△ACB,
∴=,
解得t=,
故答案为3或.
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,注意一题多解.
14.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点E,则sin∠AED的值是.
【分析】连接BC、AD,求出∠ADC=45°+45°=90°,由勾股定理得出AD=CD==,证明四边形ACBD是平行四边形,得出DE=CE=CD=,由勾股定理得出AE==,由三角函数定义即可得出答案.
【解答】解:连接BC、AD,如图所示:
由正方形的性质得:∠ADC=45°+45°=90°,
由勾股定理得:AD=CD==,
∵AC∥BD,AC=BD,
∴四边形ACBD是平行四边形,
∴DE=CE=CD=,
∴AE===,
∴sin∠AED===;
故答案为:.
【点评】本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握解直角三角形,证明四边形ACBD是平行四边形是解题的关键.
三.解答题(共9小题)
15.计算:(2017﹣2016π)°﹣﹣|tan60°﹣2|+()﹣1.
【分析】根据实数的运算,可得答案.
【解答】解:原式=1﹣﹣(2﹣)+
=1﹣﹣2++﹣
=﹣+.
【点评】本题考查了实数的运算,利用实数的运算是解题关键.
16.(1)解方程:3x(x﹣1)=2﹣2x;
(2)已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点且过点B(2,﹣5),求该函数的解析式.
【分析】(1)先将方程右边的项移到左边,使右边为零,再利用因式分解法求解即可;
(2)设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4,再将B(2,﹣5)代入求解即可.
【解答】解:(1)3x(x﹣1)﹣2+2x=0,
3x(x﹣1)+2(x﹣1)=0,
(x﹣1)(3x+2)=0,
x﹣1=0或3x+2=0,
解得x1=1,x2=﹣;
(2)设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4,
将B(2,﹣5)代入,得﹣5=a(2+1)2+4,解得a=﹣1,
则该函数的解析式为y=﹣(x+1)2+4或y=﹣x2﹣2x+3.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是正确设出函数的解析式.也考查了解一元二次方程.
17.已知△ABC三个顶点的坐标分别A(0,2),B(3,3),C(2,1).
(1)画出△ABC;
(2)以原点为位似中心,将△ABC放大到原来的2倍,在网格图中画出放大后的图形△A1B1C1;
(3)在(2)中,△ABC内一点P(a,b)的对应点为P1,直接写出P1的坐标.
【分析】(1)直接利用已知点坐标进而画出图形即可;
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可;
(3)直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可.
【解答】解:(1)如图所示:△ABC即为所求;
(2)如图所示:△A1B1C1即为所求;
(3)P1坐标为:(2a,2b).
【点评】此题主要考查了位似变换,正确得出对应点坐标是解题关键.
18.如图①,E是平行四边形ABCD的边AD上的一点,且=,CE交BD于点F.
(Ⅰ)若BF=15,求DF的长;
(Ⅱ)如图②,若延长BA和CE交于点P,AB=8,能否求出AP的长?若能,求出AP的长;若不能,说明理由.
【分析】(Ⅰ)由DE∥BC,可得,由此即可解决问题;
(Ⅱ)由PB∥DC,可得,可得PA的长.
【解答】解:(Ⅰ)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵,
∴,
又∵BF=15,
∴,
∴;
(Ⅱ)解:能.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴PB∥DC,AB=DC=8,
∴,
∴,
∴PA=.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
19.如图,用高度为1.5米的测角仪分别在A处、E处测得线杆上的C处的仰角分别为30、60°(点B、F、D在同一条直线上).如果BF=4米,求电线杆CD的高度.
【分析】根据正切的定义用CG表示出AG、EG,根据题意列出算式求出CG,结合图形计算,得到答案.
【解答】解:由题意得,四边形ABFE、四边形ABDG为矩形,
∴AE=BF=4,DG=AB=1.5,
在Rt△CAG中,tan∠CAG=,
则AG=CG,
在Rt△CEG中,tan∠CEG=,
则EG=CG,
由题意得,CG﹣CG=4,
解得,CG=2,
∴CD=CG+DG=1.5,
答:电线杆CD的高度为(1.5)米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
20.如图,一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于C,D两点,交反比例函数y=图象于A(,4),B(3,m)两点.
(1)求直线CD的表达式;
(2)点E是线段OD上一点,若S△AEB=,求E点的坐标;
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集.
【分析】(1)把点A(,4)代入中,利用待定系数法求得反比例函数的解析式,进而求得B的坐标,然后根据待定系数法即可求得直线CD的表达式;
(2)设E点的坐标为(0,b),求得D点的坐标为(0,6),得到DE=6﹣b,根据S△DEB﹣S△DEA=S△AEB
得出关b的方程,解方程求得b,从而求得E点的坐标;
(3)根据图象即可求得.
【解答】(1)把点A(,4)代入中,得:,
解得n=6
∴反比例函数的解析式为,
将点B(3,m)代入得m=2,
∴B(3,2)
设直线AB的表达式为y=kx+b,则有,解得
∴直线CD的表达式为;
(2)设E点的坐标为(0,b)令x=0,则y=6
∴D点的坐标为(0,6)DE=6﹣b
∵S△DEB﹣S△DEA=S△AEB
∴,
解得:b=1,
∴E点的坐标为(0,1);
(3)不等式kx+b≤的解集是.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力.
21.如图,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(DE>CE),连接AE,并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.
【分析】首先由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF,根据相似三角形的性质可知:,设DE=x,则EC=9﹣x,代入计算求出x的值即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=AD=BC=AB=9,∠D=∠C=90°,
∴CF=BC﹣BF=2,
在Rt△ADE中,∠DAE+∠AED=90°,
∵AE⊥EF于E,
∴∠AED+∠FEC=90°,
∴∠DAE=∠FEC,
∴△ADE∽△ECF,
∴,
设DE=x,则EC=9﹣x,
∴,
解得x1=3,x2=6,
∵DE>CE,
∴DE=6.
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质,解题的关键是设DE=x,利用方程思想解决几何问题.
22.如图,若被击打的小球飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有的关系为h=20t﹣5t2,求小球从飞出到落地所用的时间.
【分析】根据关系式,令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
【解答】解:依题意,令h=0得
0=20t﹣5t2
得t(20﹣5t)=0
解得t=0(舍去)或t=4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s.
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题,关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形,借助二次函数解决实际问题.此题较为简单.
23.如图1,设D为锐角△ABC内一点,∠ADB=∠ACB+90°.
(1)求证:∠CAD+∠CBD=90°;
(2)如图2,过点B作BE⊥BD,BE=BD,连接EC,若AC?BD=AD?BC,
①求证:△ACD∽△BCE;
②求的值.
【分析】(1)根据三角形外角的性质可得结论;
(2)①根据两边成比例且夹角相等证明△ACD∽△BCE;
②先根据等腰直角三角形的性质得:=,证明△ACB∽△DCE,得,代入所求的式子可得结论.
【解答】证明:(1)如图1,延长CD交AB于E,
∵∠ADE=∠CAD+∠ACD,
∠BDE=∠CBD+∠BCD,
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠CAD+∠CBD+∠ACB,
∵∠ADB=∠ACB+90°.
∴∠CAD+∠CBD=90°;
(2)①如图2,∵∠CAD+∠CBD=90°,∠CBD+∠CBE=90°,
∴∠CAD=∠CBE,
∵AC?BD=AD?BC,BD=BE,
∴,
∴△ACD∽△BCE;
②如图2,连接DE,
∵BE⊥BD,BE=BD,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴=,
∵△ACD∽△BCE,
∴∠ACD=∠BCE,
∴∠ACB=∠DCE,
∵,
∴△ACB∽△DCE,
∴,
∴====.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是②中,需要将比例式变形后才能得出结论.
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