巧用托勒密定理，求解线段比最值“三例说”

平面几何中有一“托勒密”定理，就是：凸四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD≥BD·AC，当A、B、C、D共圆时取等号。此定理在求解动态图形中的线段比最值时有巧妙之用。现举以下三例来说说：

【例1】（如图）四边形ABCD中，AB=2√3，AC=2，∠BAC=∠ACD=60º，求AD/BD最小值。

【分析】首先，确认AB∥CD，点D的轨迹为CD所在直线；然后，作定点关于直线CD的对称点F，为产生AD/BD搭桥；最后，构造成凸四边形ABFD，应用“托勒密”定理…（过程见下）

【例二】（如图）在△ABC中，∠B=∠ACD，BC=3，S△ABC=3，求：BD/AD的最大值。

【分析】首先，确定点A的轨迹为过点平行BC的直线L；然后，由△ABC∽△ACD，导出BD/AD后，转化为与AB/AC；最后，通过作对称点造四边形BCAQ，应用“托勒密定理”…（过程见下）

【例三】（如图）在△ABC中，CD=2DB=8，∠DAC=60º，点P满足△BAP∽△CAB，点P不在AC上，求：PB/PD的最大值。

【分析】首先，确定点P的轨迹（此步难度较大），造三角形相似确准点P所在的定直线L；然后，作定点B关于L的对称点M，构造凸四边形BDPM；最后，应用“托勒密定理”导PB/PD…（过程见下，此题难度在于定点P的轨迹）

以上三例之分析，“道听度说”供参考。