河北中考数学之“正六边形”

【例1】(2021·河北) 

如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点, S△AFO=8, S△CDO=2, 

则S正六边形ABCDEF的值是(　     )

A.20           B.30      

C.40           D.随点O位置而变化

【解法探究】

河北中考题，就像连续剧。

年年题相似，岁岁不同遇。

正呀六边形，割补真有趣。

勤思善动手，问题何所惧？

【例2】(2020·河北) 

正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n=___．

【解法探究】

正多边形有关角，内角外角中心角，

记准做题快又好。

先来记住各内角，正三正四六与九，

正五一百单八将。

正六急救一二〇，正八移动一三五，

正十必定一四四。

十二就是一五〇，十五就为一五六，

十六一五七点五。

外角等于中心角，等分周角要记好，

内外互补要记牢！

120=4×360÷n，n=12.

【例3】(2019·河北)

如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　）

A. 10      B. 6      C. 3      D. 2

【解法探究】

正多边形对称性，不论奇偶轴对称。

对称轴数同边数，左右重合对折痕。

偶边又是中对称，对折痕上有中心。

本题选C.

【例4】(2017·河北)

已知正方形MNOK和正六边形ABCD

EF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A. 1.4    B. 1.1    C. 0.8    D. 0.5 

【解法探究】

河北特色题，正内正旋转。

弄清旋中心，半径度数先。

动点之轨迹，范围算一算。

【例5】(2016·河北)

如图, ∠AOB=120°,OP平分∠AOB, 且OP=2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)

A. 1个    B. 2个   C. 3个    D. 3个以上

【解法探究】

遇到一百二十度，大胆构造正六形。

顺次构造同位点，顺次连成相似形。

正六套着正六形，无数位置是分明。

本题选D.

【例6】(2015·河北) 

平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1

−∠2＝___．

【解法探究】

正多边形有关角，内角外角中心角，记准做题快又好。

先来记住各内角，正三正四六与九，正五一百单八将。

正六急救一二〇，正八移动一三五，正十必定一四四。

十二就是一五〇，十五就为一五六，十六一五七点五。

外角等于中心角，等分周角要记好，内外互补要记牢！

∠1＝120°−108°，

∠2＝108°−90°，

∠3＝90°−60°，

∠3＋∠1−∠2

＝(90°−60°)+(120°−108°)−(108°−90°)

=2×90°−60°+120°−2×108°=24°.

【例7】(2014·河北)

如图, 边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图), 则S阴影/S空白=(　　)

A.3        B.4        C.5      D.6

【解法探究】

本题选C.

【例8】(2012·河北) 

用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1；用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为___．

【解法探究】

正多边形有关角，内角外角中心角，记准做题快又好。

先来记住各内角，正三正四六与九，正五一百单八将。

正六急救一二〇，正八移动一三五，正十必定一四四。

十二就是一五〇，十五就为一五六，十六一五七点五。

外角等于中心角，等分周角要记好，内外互补要记牢！

n=360°÷[180°−(360°−120°−120°)]

=6.

The  End, Byebye!

        

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