姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密----
----------封--------------线--------------内--------------请---------
-----不--------------要--------------答--------------题--------------
-----------●2021-2022人教版九年级下册期中考试模拟卷数学试卷考试时间：100分钟姓名：__________班级
：__________考号：__________题号一二三总分得分△注意事项：1.填写答题卡请使用2B铅笔填涂2.提前5分钟收答题
卡、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）下列图形中，任意两个图
形一定是相似图形的是（）A．三角形B．平行四边形C．抛物线D．圆如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x
的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（）①反比例函数的表达式是y＝﹣；②一次函数y＝x+5与反比例
函数y＝的图象的另一个交点B的坐标为（﹣8，2）；③直线AB与y轴的交点为（5，0）；④S△AOB＝15．A．①②③④B．②③④C
．①④D．②③下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形如图，取一张长为a
，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边长a，b应满足的条件是(
)A．a＝bB．a＝2bC．a＝2bD．a＝4b如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）
A．2：1B．4：1C．：1D．1：当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（）A．B．C．D．如图所
示的三个矩形中，相似的是()A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙已知△ABC∽△A''B''C''，AD和A''D''是
它们的对应中线，若AD＝5，A''D''＝3，则△ABC与△A''B''C''面积的比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9
下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应
边成比例的两个多边形相似如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则A
D的长为（）A．3B．4C．5D．5.5、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）如图，△ABC，AB＝12，AC＝1
5，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于．如图所示，E是平行四边
形ABCD的边AD上一点，ED＝2AE，CE与BD相交于点F，BD＝20，那么DF＝．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角
形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边
BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．制作一块3m×2m的长方形广告牌的成本是120元，在
每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是___________.已知a，
b，c，d是成比例线段，其中a＝5cm，b＝3cm，c＝6cm，则线段d＝____cm.已知点A（a，y1），B（a+1，y
2）在反比例函数y（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是．在－2,1，－3这三个数中，任选两个数的积作为k的值，
使正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限的概率是__________．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原
矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．已知反比例函数y＝与一次函数y＝2x－1的图象的交点为(1，a)，则反比例函数的解析式是_
_________．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N
，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．、解答题（本大题共5小题，共50分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交
AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC?BE．证明：△BCD∽△BDE．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为
A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E．（1）如图（1），双曲线y过点E，直接写出点E的坐标和
双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN～△CBD，
并求点C′的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y与AD交于点P．当△AEP为等
腰三角形时，求m的值．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在
反比例函数y的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（2）求△OC
D的面积；（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，B
C⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，CE
＝1，求CD和DF的长．已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时
，①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系：；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说
明理由；（2）当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出D
C的长．2021-2022人教版九年级下册期中考试模拟卷答案解析、选择题解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故
此选项不符合题意；B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；D
、两个圆一定相似，故此选项符合题意；故选：D．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比
例函数y＝的图象经过点A，下列叙述正确的是（）①反比例函数的表达式是y＝﹣；②一次函数y＝x+5与反比例函数y＝的图象的另一个
交点B的坐标为（﹣8，2）；③直线AB与y轴的交点为（5，0）；④S△AOB＝15．A．①②③④B．②③④C．①④D．②③【分析】
先求出点A的坐标，再根据A的坐标可得反比例函数表达式；联立方程组可得一次函数与反比例函数的另一个交点；利用待定系数法求出直线AB的
解析式，可得与y轴的交点；根据三角形的面积公式可得△AOB的面积．【解答】解：当x+5＝﹣2x时，x＝﹣2，∴A（﹣2，4），∴反
比例函数的表达式为y＝﹣，故①正确；联立方程组，解得或，∴另一个交点的坐标为（﹣8，1），故②错误；设直线AB的解析式为y＝kx+
b，把A、B的坐标代入可得，解得k＝，b＝5，∴直线AB的解析式为y＝x+5，与y轴的交点为（0，5），故③错误；设直线AB交y轴
于点C，如图，则C（0，5），S△AOB＝5×8﹣＝15，故④正确．故选：C．解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个
等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不
一定是相似形，故选：B．B解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：，即：，则b2＝∴＝2，∴＝：1矩形的长边与短边的比是：1．故选：
C．【解答】解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值），∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．故选：B．B已知△ABC∽△A''B''
C''，AD和A''D''是它们的对应中线，若AD＝5，A''D''＝3，则△ABC与△A''B''C''面积的比是（）A．3：5B．9：25
C．5：3D．25：9【分析】根据相似三角形的性质：对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．解：∵△ABC∽△A
′B′C′，AD和A''D''是它们的对应中线，AD＝5，A''D''＝3，∴两三角形的相似比为：5：3，则△ABC与△A''B''C''的面积
比是：25：9．故选：D．解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；B、有一个角等于100°的两个等腰三
角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项正确；C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错
误；D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；故选：B．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是
BC边上一点，若AB＝6，AE＝3，∠AED＝∠B，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．5.5【分析】利用两个角相等可证明△
ADE∽△AEC，得，代入即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AED＝∠B，∴∠AED＝∠C，∴180°
﹣∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，∴∠ADE＝∠AEC，∴△ADE∽△AEC，∴，∵AE＝3，AC＝AB＝6，∴，∴
AD＝3，故选：A．、填空题解：∵△ABC∽△ADE，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝12，∴AD＝8，∵AC＝15，∴＝或＝，解得
：AE＝10或6.4．故答案为10或6.4解：∵ED＝2AE，∴AD＝3AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴△BCF∽△DEF，
∴＝，∴＝，∴DF＝8，故答案为：8．解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC?AD，∵AC＝，
AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF
＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，∴AF＝，∵AD＝，E为AD中点，∴AE＝，∴EF
＝＝＝．故答案为：．1080元已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a
的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限
时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．【解答】解：∵k＝m2+1＞0，∴反比例函数y（m是常数）的图象在一、三
象限，在每个象限，y随x的增大而减小，①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，∵y1＜y2，∴a＞a+1，此不等式无解；
②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，∵y1＜y2，∴a＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a＜0，故答案为﹣1＜a＜0．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．解：设宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴＝，解得x＝
．∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，故答案为：27．y＝解：∵△AMN和△ABC
相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴＝，∵AM＝3，BC＝12，AB＝9，∴，解得MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴＝
，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上所述，MN为4或6．故答案为：4或6．、解答题证明：∵BD平分∠ABC，∴∠
DBE＝∠CBD．∵BD2＝BC?BE，∴，∴△BCD∽△BDE．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴DE＝EB
，∵B（6，0），D（0，8），∴E（3，4），∵双曲线y过点E，∴k1＝12．∴反比例函数的解析式为y．（2）如图2中，∵点M，
N在反比例函数的图象上，∴DN?AD＝BM?AB，∵BC＝AD，AB＝CD，∴DN?BC＝BM?CD，∴，∴，∴，∵∠MCN＝∠B
CD，∴△MCN∽△BCD，∴∠CNM＝∠CDB，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD．∵B（6，0），D（0，8），∴直线BD的解
析式为yx+8，∵C，C′关于MN对称，∴CC′⊥MN，∴CC′⊥BD，∵C（6，8），∴直线CC′的解析式为yx，∴C′（0，）
．（3）如图3中，①当AP＝AE＝5时，∵P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴5m＝4（m+3），∴m＝1
2．②当EP＝AE时，点P与点D重合，∵P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，∴8m＝4（m+3），∴m＝3．
③显然PA≠PE，若相等，则PE∥x轴，显然不可能．综上所述，满足条件的m的值为3或12．【解答】解：（1）如图，作PM⊥OA于M
，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MO
N＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵
PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）设OA＝a，OB＝
b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得a
b＝6a+6b﹣18，∴3a+3b﹣9ab，∵PM∥OC，∴，∴，∴OC，同法可得OD，∴S△COD?OC?DO???9．解法二：
证明△COP∽△POD，得OC?OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，B
N＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b6，∴26，∴（2）6，∴3（2），∴ab≤54﹣36，∴S
△AOBab≤27﹣18，∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点
E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．【
分析】（1）连接OD，只要证明CD⊥OD即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；（2）连接AE交OD
于H，先证明四边形HECD是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到△OAH的三边长，再利用△OAH～△OFD即可求得DF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，∵BD平分∠ABC．∴∠ABD＝∠DBC，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，又∵BC⊥CD，∴∠
C＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠ODB+∠BDC＝90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接AE交OD
于点H，∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°，∴∠HEC＝90°，∵BC⊥CD，OD⊥DC，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴四边形HE
CD是矩形，∴DH＝CE＝1，HE＝CD，∠EHD＝90°，HE∥CD，∴OD⊥AE，∴AH＝HE，∵AB＝10，∴OA＝OD＝5
，∴OH＝OD﹣DH＝5﹣1＝4，∴AH，∴HE＝AH＝3，∴CD＝HE＝3，∵HE∥CD，∴△OAH～△OFD，∴，∴，∴DF．
【点评】本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，能够求证四边形HECD是矩形是解决本题的关键．已
知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠EDC＝n°．（1）当n＝60时，①如图1，当点D在AC上
时，请直接写出BE与AD的数量关系：BE＝AD；②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；（2）
当n＝90时，①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；②当BE∥AC，AB＝3，AD＝1时，请直接写出DC的长．【分析
】（1）①根据题意当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出BE＝AD；②通过SAS求证△ACD≌△
BCE，即可找到线段BE与AD的数量关系；（2）①根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证△DCA∽△ECB即可找到线段BE
与AD的数量关系；②根据已知条件，利用两角对应相等求证△EFB∽△CFA，再利用相似比结合勾股定理即可算出EF的长，进而表示出EC
的长即可求出DC的长．【解答】解：（1）①当n＝60时，△ABC和△DEC均为等边三角形，∴BC＝AC，EC＝DC，又∵BE＝BC
﹣EC，AD＝AC﹣DC，∴BE＝AD，故答案为：BE＝AD；②BE＝AD，理由如下：当点D不在AC上时，∵∠ACB＝∠ACD+∠
DCB＝60°，∠DCE＝∠BCE+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）①BEAD，理由如下：当n＝90时，在等腰直角三角形DEC中：sin45，在等腰直角三角形ABC中：，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA在△DCA和△ECB中，，∴△DCA∽△ECB，∴，∴BE，②DC＝5，理由如下：设EC与AB交于点F，如图所示：∵AB＝3，AD＝1由上可知：AC＝AB＝3，BE，又∵BE∥AC，∴∠EBF＝∠CAF＝90°，而∠EFB＝∠CFA，∴△EFB∽△CFA，∴，∴AF＝3BF，而AB＝BF+AF＝3，∴BF，在Rt△EBFz中：EF，又∵CF＝3EF＝3，∴EC＝EF+CF5，在等腰直角三角形DEC中，DC＝EC?sin45°＝55．【点评】本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键． |
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